12.4. RÉGULARITÉ NON LINÉAIRE, DÉMONSTRATIONS
429
Pour terminer cette première étape, montrons que u ∈ W
2,p
loc (R × S
1 ).
Notons pour simplifier v = ∂u/∂s (et w = ∂u/∂t). Alors v est solution de
l’équation
∂v
∂s
+
J
∂v
∂t
+ g = 0
où l’on a posé
g(s, t) =
∂h
∂s
(s, t) +
∂
J
∂s
(s, t)
∂u
∂t
(s, t).
La situation est différente de celle considérée page 427 puisque le g apparaissant ici est seulement dans L
p/2
loc (R × S
1 ) (toujours Hölder) et plus
dans L
p
loc (R × S
1 ). Nous pouvons appliquer le lemme 12.4.2 pour le triplet
(p, q 0 , r 0 ) avec q 0 = p et r 0 ∈ ]1, 2[, r 0 = p/2 comme dans la démonstration
précédente et de conclure que v ∈ W
1,r0
loc (R × S
1 ). De manière analogue, on
pourra démontrer que w ∈ W
1,r0
loc (R×S
1 ). En poursuivant comme ci-dessus,
on obtient
v, w ∈ L
q1
loc (R × S
1 ) pour q 1 =
2r 0
2 − r 0
(c’est l’injection de Sobolev). Donc, par Hölder,
∂
J
∂s
·
∂u
∂t
et
∂
J
∂t
·
∂u
∂t
∈ L
r1
loc (R × S
1 ), où
1
p
+
1
q 1
=
1
r 1
.
Par conséquent, g ∈ L
r1
loc . On peut alors appliquer de nouveau le
lemme 12.4.2 au triplet (p, q 1 , r 1 ) et obtenir que v et w sont dans
W
1,r1 (R × S
1 ).
Nous pouvons donc appliquer successivement le lemme 12.4.2 comme cidessus, puisque chaque application améliore l’intégrabilité de g (le r pour
lequel g ∈ L
r ). Finalement, nous obtenons que
v =
∂u
∂s
et w =
∂u
∂t
∈ W
1,p
loc (R × S
1 ),
autrement dit que u ∈ W
2,p (R × S
1 ), ce que nous voulions démontrer. La
première étape, le cas où k = 1, est donc terminée.
Étape 2, la récurrence sur k. Supposons donc le théorème 12.1.5 démontré
pour k et démontrons-le pour k + 1. Considérons
J ∈ W
k+1,p
loc
(R×S
1 ; End(R
2n )), avec
J
2 = − Id, h ∈ W
1,k+1
loc
(R×S
1 ; R
2n ).
Soit u ∈ L
p
loc (R × S
1 ; R
2n ) une solution faible de
∂u
∂s
+
J
∂u
∂t
+ h = 0.