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CHAPITRE 12. RÉGULARITÉ ELLIPTIQUE
Chaque application du lemme 12.4.2 fournit une inégalité entre les normes
W
1,r , L
r et L
q . Pour écrire ces inégalités, choisissons des ouverts relativement compacts (V i ) i=0,...,m tels que
V ⊂ V m+1 ⊂ V m ⊂ · · · ⊂ V 0 ⊂ U.
La dernière application du lemme 12.4.2, pour le triplet (p, +∞, p), donne
u W 1,p (V ) ≤ k 1
h L p (Vm+1) + u L ∞ (Vm+1)
≤ k 2
h L p (U ) + u W
1,r m+1 (Vm+1)
avec l’inclusion continue
W
1,rm+1 (V m+1 ) −→ L
∞ (V m+1 ), puisque r m+1 > 2.
Ensuite, pour i ∈ {1, . . . , m + 1}, on a
u W 1,r i (Vi) ≤ c i
h L r i (Vi−1) + u L q i (Vi−1)
≤ C i
h L p (Vi−1) + u W
1,r i−1 (Vi−1)
avec les inclusions continues
L
p (V i−1 ) ⊂ L
ri (V i−1 ) pour r i < p et V i−1 compact
et W
1,ri−1 (V i−1 ) ⊂ L
qi (V i−1 ) pour q i =
2r i−1
2 − r i−1
et V i−1 compact.
Donc, pour tout i = 1, . . . , m + 1, on a
u W 1,r i (Vi) ≤ C i
h L p (U ) + u W
1,r i−1 (Vi−1)
.
En mettant toutes ces inégalités ensemble, on trouve
u W
1,r m+1 (Vm+1) ≤ k 3
h L p (U ) + u W 1,r 0 (V0)
,
ce qui, avec l’égalité
u W 1,p (V ) ≤ k 2
h L p (U ) + u W
1,r m+1 (Vm+1)
obtenue ci-dessus, donne
u W 1,p (V ) ≤ k 4
h L p (U ) + u W 1,r 0 (V0)
.
Enfin, la première application du lemme 12.4.2 pour (p, q 0 , r 0 ) = (p, p, r 0 )
donne
u W 1,r 0 (V0) ≤ c 0
h L p (U ) + u L p (U )
,
ce qui, avec l’inégalité précédente, implique
u W 1,p (U ) ≤ c
h L p (U ) + u L p (U )
,
ce que nous voulions démontrer.