12.4. RÉGULARITÉ NON LINÉAIRE, DÉMONSTRATIONS
427
cette inégalité, mais un argument de bootstrapping permet d’augmenter la
régularité de u et la valeur de r.
Supposons démontré que u ∈ W
1,r
loc (R × S
1 ) pour un certain r ∈ ]1, 2[.
En utilisant l’injection de Sobolev du théorème 16.4.10, on en déduit que
u ∈ L
q
loc (R×S
1 ) pour q = 2r/(2−r). Ensuite, en appliquant le lemme 12.4.2,
on obtient que u ∈ W
1,r
loc (R × S
1 ) pour
1
r =
1
p
+
1
q
, c’est-à-dire r
=
pq
p + q
=
2pr
2p + 2r − pr
(h est dans L
p
loc et en particulier dans L
r
loc pour 1 < r
≤ p). On voit que,
si p > 2, on a r
> r. La condition p > 2 est donc essentielle pour pouvoir
améliorer la régularité de u. Considérons donc la suite (r m ) avec
r 0 ∈ ]1, 2[, r 0 ≤
p
2
, et r m+1 =
2pr m
2p + 2r m − pr m
,
de sorte que, si r m < 2, alors r m+1 > r m et u ∈ W
1,rm+1 (R × S
1 ). Si
r m ∈ ]1, 2[ pour tout m, alors r m , suite croissante, converge vers une limite
∈ ]1, 2]... ce que la relation de récurrence interdit, toujours parce que p > 2.
Donc, pour un certain m, on a r m < 2 ≤ r m+1 et donc u ∈ W
1,r
loc (R × S
1 )
pour tout r tel que 1 < r ≤ 2. D’autre part,
r
− 2 =
2pr
2p + 2r − pr
− 2 =
4[(p − 1)(r − 1) − 1]
2p + 2r − pr
est strictement positif lorsque r ∈ ]1, 2] est suffisamment proche de 2. Il
s’ensuit que
u ∈ W
1,r
loc (R × S
1 ) ⊂ L
∞
loc (R × S
1 ) et donc que u ∈ W
1,p
loc (R × S
1 )
en appliquant le lemme 12.4.2.
Montrons maintenant l’inégalité
u W 1,p (V ) ≤ c
h L p (U ) + u L p (U )
.
Pour montrer que u ∈ W
1,p
loc (R × S
1 ), nous avons appliqué successivement
le lemme 12.4.2 pour des triplets
(p, q 0 , r 0 ), (p, q 1 , r 1 ), . . . , (p, q m , r m ), (p, q m+1 , r m+1 ), (p, +∞, p)
satisfaisant aux propriétés :
– les r m croissent et plus précisément
1 < r 0 < r 1 < · · · < r m < 2 < r m+1 < p,
– de plus q 0 = p, et q i = 2r i−1 /(2 − r i−1 ) pour tout i ≥ 1.
427
cette inégalité, mais un argument de bootstrapping permet d’augmenter la
régularité de u et la valeur de r.
Supposons démontré que u ∈ W
1,r
loc (R × S
1 ) pour un certain r ∈ ]1, 2[.
En utilisant l’injection de Sobolev du théorème 16.4.10, on en déduit que
u ∈ L
q
loc (R×S
1 ) pour q = 2r/(2−r). Ensuite, en appliquant le lemme 12.4.2,
on obtient que u ∈ W
1,r
loc (R × S
1 ) pour
1
r =
1
p
+
1
q
, c’est-à-dire r
=
pq
p + q
=
2pr
2p + 2r − pr
(h est dans L
p
loc et en particulier dans L
r
loc pour 1 < r
≤ p). On voit que,
si p > 2, on a r
> r. La condition p > 2 est donc essentielle pour pouvoir
améliorer la régularité de u. Considérons donc la suite (r m ) avec
r 0 ∈ ]1, 2[, r 0 ≤
p
2
, et r m+1 =
2pr m
2p + 2r m − pr m
,
de sorte que, si r m < 2, alors r m+1 > r m et u ∈ W
1,rm+1 (R × S
1 ). Si
r m ∈ ]1, 2[ pour tout m, alors r m , suite croissante, converge vers une limite
∈ ]1, 2]... ce que la relation de récurrence interdit, toujours parce que p > 2.
Donc, pour un certain m, on a r m < 2 ≤ r m+1 et donc u ∈ W
1,r
loc (R × S
1 )
pour tout r tel que 1 < r ≤ 2. D’autre part,
r
− 2 =
2pr
2p + 2r − pr
− 2 =
4[(p − 1)(r − 1) − 1]
2p + 2r − pr
est strictement positif lorsque r ∈ ]1, 2] est suffisamment proche de 2. Il
s’ensuit que
u ∈ W
1,r
loc (R × S
1 ) ⊂ L
∞
loc (R × S
1 ) et donc que u ∈ W
1,p
loc (R × S
1 )
en appliquant le lemme 12.4.2.
Montrons maintenant l’inégalité
u W 1,p (V ) ≤ c
h L p (U ) + u L p (U )
.
Pour montrer que u ∈ W
1,p
loc (R × S
1 ), nous avons appliqué successivement
le lemme 12.4.2 pour des triplets
(p, q 0 , r 0 ), (p, q 1 , r 1 ), . . . , (p, q m , r m ), (p, q m+1 , r m+1 ), (p, +∞, p)
satisfaisant aux propriétés :
– les r m croissent et plus précisément
1 < r 0 < r 1 < · · · < r m < 2 < r m+1 < p,
– de plus q 0 = p, et q i = 2r i−1 /(2 − r i−1 ) pour tout i ≥ 1.