426
CHAPITRE 12. RÉGULARITÉ ELLIPTIQUE
Démonstration du lemme 12.4.2. En appliquant ∂/∂s − J∂/∂t à l’équation
de l’énoncé, on obtient
Δu = −
∂J
∂s
∂u
∂t
+ J
∂J
∂t
∂u
∂t
+
∂f
∂s
− J
∂f
∂t
= −
∂J
∂s
∂u
∂t
−
∂J
∂t
J
∂u
∂t
+
∂f
∂s
− J
∂f
∂t
= −
∂J
∂s
∂u
∂t
−
∂J
∂t
f −
∂u
∂s
+
∂f
∂s
− J
∂f
∂t
(en utilisant le fait que J
2 = − Id et celui que u est solution). Ce qui entraîne
Δu = −
∂J
∂s
∂u
∂t
+
∂J
∂t
∂u
∂s
+
∂f
∂s
−
∂
∂t
(Jf)
= −
∂
∂t
∂J
∂s
· u
+
∂
2 J
∂t∂s
· u +
∂
∂s
∂J
∂t
u
−
∂
2 J
∂s∂t
· u +
∂f
∂s
−
∂
∂t
(Jf)
=
∂
∂s
∂J
∂t
· u + f
+
∂
∂t
−
∂J
∂s
· u − Jf
.
En utilisant l’inégalité de Hölder et la continuité de J, on obtient que
∂J
∂t
· u + f et −
∂J
∂s
· u − Jf ∈ L
r
loc (U )
(ceci s’appliquant aussi aux cas où p ou q est infini). Nous sommes donc dans
les hypothèses de la proposition 12.3.1, ce qui nous autorise à appliquer ses
conclusions, obtenant une constante c 1 > 0 telle que
u W 1,r (V ) ≤ c 1
∂J
∂t
· u
L r (U )
+ f L r (U ) +
∂J
∂s
· u
L r (U )
+ Jf L r (U )
≤
J W 1,p (U ) u L q (U ) + f L r (U )
+ J W 1,p (U ) u L q (U ) + J L ∞ (U ) f L r (U )
≤ c 1
2c 0 u L q (U ) + (1 + kc 0 ) f L r (U )
(où nous avons utilisé la continuité de l’inclusion W
1,p (U ) ⊂ L
∞ (U )). On
en déduit l’existence d’une constante c (indépendante de u et de J) telle
que
u W 1,r (V ) ≤ c
f L r (U ) + u L q (U )
,
ce qui achève la démonstration du lemme.
Revenons donc à la démonstration du cas k = 1 du théorème 12.1.5.
Montrons d’abord que u ∈ W
1,p
loc (R × S
1 ). L’application directe du
lemme 12.4.2 donne seulement u ∈ W
1,p/2 (R × S
1 ). Pour obtenir la
régularité désirée, il faudrait pouvoir appliquer ce lemme au cas où
q = ∞, c’est-à-dire avec l’hypothèse u ∈ L
∞
loc (R × S
1 ), ce qui est vrai
si u ∈ W
1,r
loc (R × S
1 ) pour un r > 2. Le nombre r = p/2 ne vérifie pas