12.4. RÉGULARITÉ NON LINÉAIRE, DÉMONSTRATIONS
425
Étape 1, le cas k = 1. Nous démontrons d’abord le théorème pour k = 1
(et = 0). En suivant la stratégie de démonstration du théorème 12.1.2,
on aboutit vite à une difficulté : en appliquant l’opérateur ∂/∂s −
J ∂/∂t à
l’équation
∂u
∂s
+
J
∂u
∂t
+ h = 0,
on trouve
Δu +
∂
J
∂s
u −
J
∂
J
∂t
u +
∂h
∂s
−
J
∂h
∂t
= 0.
On ne peut pas appliquer la proposition 12.3.1 puisque, comme produit de
fonctions L
p
loc ,
∂
∂s
J · u ∈ L
p/2
loc
(seulement !) d’après l’inégalité de Hölder. Pour pouvoir quand même appliquer cette méthode, nous commençons par modifier l’énoncé du théorème 12.1.5 en :
Lemme 12.4.2. Soient U et V deux ouverts relativement compacts de R × S
1
avec V ⊂ U et soient p, q, r ∈ R
+ tels que
p > 2, r > 1 et
1
p
+
1
q
=
1
r
.
Supposons que u soit solution (au sens des distributions) de l’équation
∂u
∂s
+ J
∂u
∂t
= f
(avec J structure presque complexe dans W
1,p (U ; End(R
2n )) telle que
J W 1,p (U ) ≤ c 0 , f ∈ L
r
loc (U ; R
2n )). Alors on a
(1) Si u ∈ L
q
loc (U ; R
2n ), alors u ∈ W
1,r
loc (U ; R
2n ),
(2) Il existe une constante c > 0, dépendant de c 0 , U et V , telle que
u W 1,r (V ) ≤ c
f L r (U ) + u L q (U )
.
Remarques 12.4.3.
(1) Si r < 2, la relation entre p, q et r implique que q < 2r/(2 − r). Dans
ce cas, le théorème 16.4.10 dit que W
1,r
loc ⊂ L
q
loc .
(2) Dans l’énoncé du lemme 12.4.2, p et q peuvent prendre la valeur +∞ :
– si p = +∞, r = q < +∞,
– si q = +∞, r = p < +∞.
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Étape 1, le cas k = 1. Nous démontrons d’abord le théorème pour k = 1
(et = 0). En suivant la stratégie de démonstration du théorème 12.1.2,
on aboutit vite à une difficulté : en appliquant l’opérateur ∂/∂s −
J ∂/∂t à
l’équation
∂u
∂s
+
J
∂u
∂t
+ h = 0,
on trouve
Δu +
∂
J
∂s
u −
J
∂
J
∂t
u +
∂h
∂s
−
J
∂h
∂t
= 0.
On ne peut pas appliquer la proposition 12.3.1 puisque, comme produit de
fonctions L
p
loc ,
∂
∂s
J · u ∈ L
p/2
loc
(seulement !) d’après l’inégalité de Hölder. Pour pouvoir quand même appliquer cette méthode, nous commençons par modifier l’énoncé du théorème 12.1.5 en :
Lemme 12.4.2. Soient U et V deux ouverts relativement compacts de R × S
1
avec V ⊂ U et soient p, q, r ∈ R
+ tels que
p > 2, r > 1 et
1
p
+
1
q
=
1
r
.
Supposons que u soit solution (au sens des distributions) de l’équation
∂u
∂s
+ J
∂u
∂t
= f
(avec J structure presque complexe dans W
1,p (U ; End(R
2n )) telle que
J W 1,p (U ) ≤ c 0 , f ∈ L
r
loc (U ; R
2n )). Alors on a
(1) Si u ∈ L
q
loc (U ; R
2n ), alors u ∈ W
1,r
loc (U ; R
2n ),
(2) Il existe une constante c > 0, dépendant de c 0 , U et V , telle que
u W 1,r (V ) ≤ c
f L r (U ) + u L q (U )
.
Remarques 12.4.3.
(1) Si r < 2, la relation entre p, q et r implique que q < 2r/(2 − r). Dans
ce cas, le théorème 16.4.10 dit que W
1,r
loc ⊂ L
q
loc .
(2) Dans l’énoncé du lemme 12.4.2, p et q peuvent prendre la valeur +∞ :
– si p = +∞, r = q < +∞,
– si q = +∞, r = p < +∞.