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CHAPITRE 12. RÉGULARITÉ ELLIPTIQUE
Supposons maintenant que (u n ) soit une suite convergeant vers u dans
C
0
loc (R × S
1 ; R
2n ), chacune des u n de même que u étant une solution de
l’équation de Floer dans W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), étant donc aussi de classe C
∞
d’après ce qui précède. On en déduit que (u n ) converge vers u dans L
p
loc .
Notons
J n (s, t) = J(u n (s, t)) et h n (s, t) = grad H t (u n (s, t)), de sorte que
(par définition de
J et h), la suite (
J n ) converge vers
J et (h n ) vers h,
dans C
0
loc , donc ces convergences ont lieu aussi dans L
p
loc .
Supposons démontré le fait que la suite (u n ) converge vers u dans
W
k,p
loc (R × S
1 ; R
2n ). Alors (
J n ) converge vers
J et (h n ) vers h dans
W
k,p
loc (R × S
1 ; R
2n ) : pour k = 0, nous venons de le voir, et pour k ≥ 1,
c’est une conséquence immédiate du fait que la convergence W
1,p
loc implique
la convergence C
0
loc pour p > 2.
Nous voulons montrer que (u n ) converge vers u également dans
W
k+1,p
loc
(R × S
1 ; R
2n ). Soient V ⊂ U ⊂ R × S
1 des ouverts relativement compacts. Des équations
∂u
∂s
+
J
∂u
∂t
+ h = 0 et
∂u n
∂s
+
J n
∂u n
∂t
+ h n = 0
on déduit que
∂(u n − u)
∂s
+
J n
∂(u n − u)
∂t
+ h n − h + (
J −
J n )
∂u
∂t
= 0.
Comme
J n tend vers
J dans W
k,p
loc (R × S
1 ; R
2n ), il existe c 0 > 0 tel que
pour tout n ∈ N,
J n W k,p (U ) ≤ c 0 .
D’après le corollaire 12.4.1, il existe une constante c > 0 indépendante de n
telle que
u n − u W k+1,p (V )
≤ c
h n − h W k,p (U ) + u n − u W k,p (U ) +
(
J n −
J)
∂u
∂t
W k,p (U )
.
Comme
J n tend vers
J et h n tend vers h dans W
k,p (U ) et u est de classe C
∞ ,
on en déduit que u n tend vers u dans W
k+1,p (V ). Par récurrence, u n tend
donc vers u dans W
k,p
loc pour tout k, donc aussi dans C
∞ (toujours d’après
le théorème de Rellich 16.4.9).
12.4.b. Démonstration du théorème 12.1.5. Lorsque
J est (constante
égale à) la structure complexe standard J 0 , on retrouve l’énoncé du théorème 12.1.2. Dans le cas général, la démonstration est plus compliquée et
la condition p > 2 est essentielle (noter que p > 1 suffisait pour démontrer 12.1.2).
CHAPITRE 12. RÉGULARITÉ ELLIPTIQUE
Supposons maintenant que (u n ) soit une suite convergeant vers u dans
C
0
loc (R × S
1 ; R
2n ), chacune des u n de même que u étant une solution de
l’équation de Floer dans W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), étant donc aussi de classe C
∞
d’après ce qui précède. On en déduit que (u n ) converge vers u dans L
p
loc .
Notons
J n (s, t) = J(u n (s, t)) et h n (s, t) = grad H t (u n (s, t)), de sorte que
(par définition de
J et h), la suite (
J n ) converge vers
J et (h n ) vers h,
dans C
0
loc , donc ces convergences ont lieu aussi dans L
p
loc .
Supposons démontré le fait que la suite (u n ) converge vers u dans
W
k,p
loc (R × S
1 ; R
2n ). Alors (
J n ) converge vers
J et (h n ) vers h dans
W
k,p
loc (R × S
1 ; R
2n ) : pour k = 0, nous venons de le voir, et pour k ≥ 1,
c’est une conséquence immédiate du fait que la convergence W
1,p
loc implique
la convergence C
0
loc pour p > 2.
Nous voulons montrer que (u n ) converge vers u également dans
W
k+1,p
loc
(R × S
1 ; R
2n ). Soient V ⊂ U ⊂ R × S
1 des ouverts relativement compacts. Des équations
∂u
∂s
+
J
∂u
∂t
+ h = 0 et
∂u n
∂s
+
J n
∂u n
∂t
+ h n = 0
on déduit que
∂(u n − u)
∂s
+
J n
∂(u n − u)
∂t
+ h n − h + (
J −
J n )
∂u
∂t
= 0.
Comme
J n tend vers
J dans W
k,p
loc (R × S
1 ; R
2n ), il existe c 0 > 0 tel que
pour tout n ∈ N,
J n W k,p (U ) ≤ c 0 .
D’après le corollaire 12.4.1, il existe une constante c > 0 indépendante de n
telle que
u n − u W k+1,p (V )
≤ c
h n − h W k,p (U ) + u n − u W k,p (U ) +
(
J n −
J)
∂u
∂t
W k,p (U )
.
Comme
J n tend vers
J et h n tend vers h dans W
k,p (U ) et u est de classe C
∞ ,
on en déduit que u n tend vers u dans W
k+1,p (V ). Par récurrence, u n tend
donc vers u dans W
k,p
loc pour tout k, donc aussi dans C
∞ (toujours d’après
le théorème de Rellich 16.4.9).
12.4.b. Démonstration du théorème 12.1.5. Lorsque
J est (constante
égale à) la structure complexe standard J 0 , on retrouve l’énoncé du théorème 12.1.2. Dans le cas général, la démonstration est plus compliquée et
la condition p > 2 est essentielle (noter que p > 1 suffisait pour démontrer 12.1.2).