12.4. RÉGULARITÉ NON LINÉAIRE, DÉMONSTRATIONS
423
D’où il suit que ∂
α u ∈ W
1,p
loc (U ), c’est-à-dire u ∈ W
k+1,p
loc
(U ). Si V est un
ouvert relativement compact tel que V ⊂ U , on a
u W k+1,p (V ) = u L p (V ) +
∂u
∂s
W k,p (V )
+
∂u
∂t
W k,p (V )
≤ ≤u L p (V ) + C 1
∂f
∂s
W k,p (U )
+ C 2
∂f
∂t
W k,p (U )
≤ C
u L p (U ) + f W k+1,p (U )
en utilisant les deux faits que
∂
∂u
∂s
=
∂f
∂s
et ∂
∂u
∂t
=
∂f
∂t
ainsi que l’hypothèse de récurrence. Et ceci termine la démonstration du
théorème 12.1.2.
12.4. Régularité elliptique de l’opérateur de Floer (non linéaire),
démonstrations
12.4.a. Comment déduire la proposition 12.1.4... du théorème 12.1.5 ?
Supposons-le démontré. Si u ∈ W
k,p
loc (R × S
1 ; R
2n ) pour un k ≥ 1, alors
ce théorème implique que u ∈ W
k+1,p
loc
(R × S
1 ; R
2n ), puisque
J et h ont
la régularité de u. Alors u ∈ W
k,p
loc (R × S
1 ; R
2n ) pour tout k, et u est
de classe C
∞ en utilisant le fait que W
k,p
loc ⊂ C
k comme nous l’apprend le
théorème de Rellich (ici 16.4.9).
Pour démontrer la deuxième assertion de la proposition 12.1.4, on montre
d’abord :
Corollaire 12.4.1. Soit u ∈ C
∞ (R × S
1 ; R
2n ) une solution de l’équation de
Floer
∂u
∂s
+
J
∂u
∂t
+ h = 0
(avec
J ∈ C
∞ (R × S
1 ; End(R
2n )),
J
2 = − Id et h ∈ C
∞ (R × S
1 ; R
2n )).
Soient V ⊂ U ⊂ R × S
1 deux ouverts relativement compacts, soient p > 2,
k ≥ 1 et c 0 > 0 tels que
J W k,p (U ) ≤ c 0 .
Alors il existe une constante c (dépendant de V , U , c 0 , k et p) telle que
u W k+1,p (V ) ≤ c
h W k,p (U ) + u W k,p (U )
.
Il s’agit de l’inégalité du théorème 12.1.5, pour tout k ∈ N.
Démonstration du corollaire 12.4.1. Les hypothèses du théorème 12.1.5
étant satisfaites pour tout k, nous avons l’inégalité désirée.