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CHAPITRE 12. RÉGULARITÉ ELLIPTIQUE
et enfin
∇(K K (βf )) L p (V ) = ∇K K (βf ) L p (V )
≤ ≤K 1 (βf ) L p (V ) + K 2 (βf ) L p (V ) .
En utilisant l’inégalité de Young (note page 252), on en déduit
∇(K K (βf )) L p (V ) ≤ ≤K 1 L 1 (V −Supp β) βf L p (Supp β)
+ K 2 L 2 (V −Supp β) βf L p (Supp β)
≤ C 4 f L p (Supp β) .
En regroupant ces inégalités, on trouve
∇v L p (V ) ≤ C 5
f L p (U ) + g L p (U ) + h L p (U )
,
puis, avec l’inégalité de Poincaré (ici 16.4.3),
v W 1,p (V ) ≤ C 6
f L p (U ) + g L p (U ) + h L p (U )
.
Nous avons ensuite les égalités, en tant que distributions :
Δv = ΔK K (βf ) + ΔK 1 (βg) + ΔK 2 (βh)
= δ δ (βf ) +
∂
∂s
δ δ (βg) +
∂
∂t
δ δ (βh)
= βf +
∂(βg)
∂s
+
∂(βg)
∂t
.
En particulier, on a donc Δ(u − v) = 0 sur V . En utilisant la majoration
obtenue pour la norme W
1,p de u (appliquée à u − v) et celle pour la norme
de v, on trouve
u W 1,p (V ) ≤ ≤u − v W 1,p (V ) + v W 1,p (V )
≤ C
f L p (U ) + g L p (U ) + h L p (U ) + u L p (U )
,
ce que nous voulions démontrer.
De sorte que nous savons maintenant que, toute u ∈ L
p
loc (U ), solution de
∂u = f (pour f ∈ L
p
loc (U )) est dans W
1,p
loc (U ). Et plus précisément, il existe
une constante C (ne dépendant que de U , p et de l’ouvert relativement
compact V tel que V ⊂ U ) avec
u W 1,p (V ) ≤ C
f L p (U ) + u L p (U )
.
Nous pouvons continuer la démonstration (par récurrence sur k) du théorème 12.1.2. Supposons-le donc démontré pour k et démontrons-le pour
k + 1.
Si u, f ∈ W
1,p
loc (U ), alors pour un multi-indice α de longueur k, on a
∂∂
α u = ∂
α ∂u = ∂
α f, avec ∂
α u et ∂
α f ∈ L
p
loc (U ).