12.3. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 12.1.2
421
au sens des distributions, pour f , g et h ∈ L
p
loc (U ), alors u ∈ W
1,p
loc (U )
et pour tout ouvert V relativement compact tel que V ⊂ U , il existe une
constante C = C(p, V, U ) > 0 telle que
u W 1,p (V ) ≤ C
f L p (U ) + g L p (U ) + h L p (U ) + u L p (U )
.
Démonstration. Considérons d’abord le cas de l’équation Δu = 0. Alors u
est harmonique et vérifie l’égalité de la moyenne (proposition 16.5.2). En
particulier, elle est de classe C
∞ (lemme 16.5.3) et donc est dans W
1,p
loc (U ).
Soit V un ouvert comme dans l’énoncé. En utilisant les notations de la
démonstration du lemme 16.5.3, on a u = ψ ψ u où
ψ = χ r χ r χ r
est de classe C
1
0 et l’égalité a lieu sur U 3r , dont nous supposons qu’il
contient V (il suffit que r soit assez petit). On en déduit que
∂
∂s
u
L p (V )
=
∂
∂s
ψ ψ u
L p (V )
≤ sup
z∈V
∂
∂s
ψ
· ·u L p (V )
= u L p (V )
et une estimation analogue pour ∂u/∂t. On obtient donc
u W 1,p (V ) ≤ C(V, U ) u L p (V ) ≤ C(V, U ) u L p (U ) .
Passons maintenant au cas général. Pour pouvoir définir les convolutions,
nous utilisons une fonction β ∈ C
∞
0 (U ) qui vaut 1 sur V . Posons
v = K K βf + K 1 βg + K 2 βh,
où K est la solution fondamentale du laplacien (voir le § 16.5) et K 1 , K 2
sont ses dérivées partielles :
K(z) =
1
2π
log |z| , K 1 (s, t) =
s
2π(s 2 + t 2 )
, K 2 (s, t) =
t
2π(s 2 + t 2 )
.
Soit (g i ) une suite de fonctions dans C
∞
0 (U ) qui tend vers βg dans L
p (U ).
En utilisant l’inégalité de Calderón-Zygmund (ici le théorème 16.5.8), on
trouve que la suite des ∇(K 1 g i ) = ∇K 1 g i est une suite de Cauchy
dans L
p , et donc que (∇(K 1 g i )) converge vers (∇K 1 (βg)), qui est dans
L
p (U ). De plus
∇(K 1 (βg)) L p (U ) ≤ C 1 βg L p (U )
≤ C 2 g L p (Supp β) .
De manière analogue,
∇(K 2 (βh)) L p (U ) ≤ C 3 h L p (Supp β)
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au sens des distributions, pour f , g et h ∈ L
p
loc (U ), alors u ∈ W
1,p
loc (U )
et pour tout ouvert V relativement compact tel que V ⊂ U , il existe une
constante C = C(p, V, U ) > 0 telle que
u W 1,p (V ) ≤ C
f L p (U ) + g L p (U ) + h L p (U ) + u L p (U )
.
Démonstration. Considérons d’abord le cas de l’équation Δu = 0. Alors u
est harmonique et vérifie l’égalité de la moyenne (proposition 16.5.2). En
particulier, elle est de classe C
∞ (lemme 16.5.3) et donc est dans W
1,p
loc (U ).
Soit V un ouvert comme dans l’énoncé. En utilisant les notations de la
démonstration du lemme 16.5.3, on a u = ψ ψ u où
ψ = χ r χ r χ r
est de classe C
1
0 et l’égalité a lieu sur U 3r , dont nous supposons qu’il
contient V (il suffit que r soit assez petit). On en déduit que
∂
∂s
u
L p (V )
=
∂
∂s
ψ ψ u
L p (V )
≤ sup
z∈V
∂
∂s
ψ
· ·u L p (V )
= u L p (V )
et une estimation analogue pour ∂u/∂t. On obtient donc
u W 1,p (V ) ≤ C(V, U ) u L p (V ) ≤ C(V, U ) u L p (U ) .
Passons maintenant au cas général. Pour pouvoir définir les convolutions,
nous utilisons une fonction β ∈ C
∞
0 (U ) qui vaut 1 sur V . Posons
v = K K βf + K 1 βg + K 2 βh,
où K est la solution fondamentale du laplacien (voir le § 16.5) et K 1 , K 2
sont ses dérivées partielles :
K(z) =
1
2π
log |z| , K 1 (s, t) =
s
2π(s 2 + t 2 )
, K 2 (s, t) =
t
2π(s 2 + t 2 )
.
Soit (g i ) une suite de fonctions dans C
∞
0 (U ) qui tend vers βg dans L
p (U ).
En utilisant l’inégalité de Calderón-Zygmund (ici le théorème 16.5.8), on
trouve que la suite des ∇(K 1 g i ) = ∇K 1 g i est une suite de Cauchy
dans L
p , et donc que (∇(K 1 g i )) converge vers (∇K 1 (βg)), qui est dans
L
p (U ). De plus
∇(K 1 (βg)) L p (U ) ≤ C 1 βg L p (U )
≤ C 2 g L p (Supp β) .
De manière analogue,
∇(K 2 (βh)) L p (U ) ≤ C 3 h L p (Supp β)