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CHAPITRE 12. RÉGULARITÉ ELLIPTIQUE
Considérons ensuite le cas d’un Y à support dans {−M − 1 ≤ s ≤ M + 1}.
L’argument utilisé au début de la preuve donne une constante C (dépendant
de M ) telle que
Y W 1,p = Y W 1,p ([−M −1,M +1]×S 1 )
≤ C 7 (LY L p + Y L p ) .
Utilisons pour conclure une fonction plateau β : R → [0, 1] qui s’annule
pour |s| ≤ M + 1 et qui vaut 1 pour |s| ≤ M . Écrivons Y = βY + (1 − β)Y ,
de sorte que les deux morceaux, βY et (1 − β)Y satisfont l’inégalité de
l’énoncé. Remarquons que
L(βY ) L p = β(s)LY + β
(s)Y L p
≤ ≤LY L p + K Y L p
et de même pour L((1 − β)Y ), avec K = sup s∈R |β
(s)|. Mais alors
Y W 1,p ≤ ≤βY W 1,p + (1 − β)Y W 1,p
≤ 2C 7 (LY L p + K Y L p )
≤ C (LY L p + Y L p )
ce qui achève la démonstration du théorème.
12.3. Démonstration du théorème 12.1.2
Nous démontrons le théorème par récurrence sur k. Pour k = 0, on a
∂u = f, avec u, f ∈ L
p
loc .
En appliquant l’opérateur ∂, on obtient (à un facteur 4 près)
Δu = ∂f.
Cela nous permet de ramener le problème au cas où u est une fonction à
valeurs réelles et est solution de
Δu =
∂
∂s
g +
∂
∂t
h
avec g et h dans L
p
loc (U ) (et les dérivées sont entendues au sens des distributions). Nous montrons un peu plus généralement :
Proposition 12.3.1. Si u ∈ L
p
loc (U ) est une fonction à valeurs réelles et vérifie
Δu = f +
∂
∂s
g +
∂
∂t
h
CHAPITRE 12. RÉGULARITÉ ELLIPTIQUE
Considérons ensuite le cas d’un Y à support dans {−M − 1 ≤ s ≤ M + 1}.
L’argument utilisé au début de la preuve donne une constante C (dépendant
de M ) telle que
Y W 1,p = Y W 1,p ([−M −1,M +1]×S 1 )
≤ C 7 (LY L p + Y L p ) .
Utilisons pour conclure une fonction plateau β : R → [0, 1] qui s’annule
pour |s| ≤ M + 1 et qui vaut 1 pour |s| ≤ M . Écrivons Y = βY + (1 − β)Y ,
de sorte que les deux morceaux, βY et (1 − β)Y satisfont l’inégalité de
l’énoncé. Remarquons que
L(βY ) L p = β(s)LY + β
(s)Y L p
≤ ≤LY L p + K Y L p
et de même pour L((1 − β)Y ), avec K = sup s∈R |β
(s)|. Mais alors
Y W 1,p ≤ ≤βY W 1,p + (1 − β)Y W 1,p
≤ 2C 7 (LY L p + K Y L p )
≤ C (LY L p + Y L p )
ce qui achève la démonstration du théorème.
12.3. Démonstration du théorème 12.1.2
Nous démontrons le théorème par récurrence sur k. Pour k = 0, on a
∂u = f, avec u, f ∈ L
p
loc .
En appliquant l’opérateur ∂, on obtient (à un facteur 4 près)
Δu = ∂f.
Cela nous permet de ramener le problème au cas où u est une fonction à
valeurs réelles et est solution de
Δu =
∂
∂s
g +
∂
∂t
h
avec g et h dans L
p
loc (U ) (et les dérivées sont entendues au sens des distributions). Nous montrons un peu plus généralement :
Proposition 12.3.1. Si u ∈ L
p
loc (U ) est une fonction à valeurs réelles et vérifie
Δu = f +
∂
∂s
g +
∂
∂t
h