12.2. DÉMONSTRATION DU LEMME 8.7.2
419
On en déduit, comme dans la démonstration de la proposition 8.7.3
(page 249) que, pour tout k ∈ Z,
Y W 1,p ([k,k+1]×S 1 ) ≤ C 3
LY L p ([k−1,k+2]×S 1 ) + Y L p ([k−1,k+2]×S 1 )
.
En appliquant l’inégalité (a + b)
p
≤ 2
p (a
p + b
p ), on obtient
Y
p
W 1,p ([k,k+1]×S 1 ) ≤ 2
p C
p
3
LY
p
L p ([k−1,k+2]×S 1 ) + Y
p
L p ([k−1,k+2]×S 1 )
.
On somme ensuite sur tous les entiers k et on trouve
Y
p
W 1,p (R×S 1 ) ≤ C 4
LY
p
L p (R×S 1 ) + Y
p
L p ×S 1 )
≤ C 4
LY L p (R×S 1 ) + Y L p ×S 1 )
p
et donc l’égalité espérée dans le cas où S ne dépend pas de s. Revenons
maintenant au cas général. Appelons D
± les opérateurs de Cauchy-Riemann
perturbés associés respectivement à S
± (t). Soit ε > 0. Si M > 0 est assez
grand,
S(s, t) − S
+ (t)
< ε pour s > M et t ∈ S
1
S(s, t) − S
− (t)
< ε pour s < −M et t ∈ S
1 .
et
Par conséquent, sur W
1,p ([M + ∞[ × S
1 ; R
2n ), on a L − D
+
op < ε.
Soit Y ∈ W
1,p (R × S
1 ), à support dans {s > M}. On a (d’après ce que
nous venons de faire pour S indépendante de s) :
Y W 1,p ≤ C 5
D
+ Y
L p + Y L p
= C 5
D
+ Y
L p ([M,+∞[×S 1 )
+ Y L p (R×S 1 )
≤ C 5
LY L p ([M,+∞[×S 1 ) + ε Y W 1,p ([M,+∞[×S 1 ) + Y L p (R×S 1 )
= C 5 (LY L p + ε Y W 1,p + Y L p ) .
Pour ε assez petit (ε ≤ 1/2C 5 ), l’inégalité de l’énoncé est satisfaite par Y et,
de manière analogue, c’est aussi le cas si le support de Y est dans {s < −M }.
Supposons maintenant que Y soit à support dans {|s| > M}. On le décompose comme une somme Y = Y
+ + Y
− , de deux termes Y
+ à support
dans {s > M} et Y
− à support dans {s < −M }. Bien sûr,
Y
±
L p ≤ ≤Y L p et
LY
±
L p ≤ ≤LY L p ,
donc on a
Y W 1,p ≤
Y
+
W 1,p +
Y
−
W 1,p
≤ C 6
LY
+
L p +
LY
−
L p +
Y
+
L p +
Y
−
L p
≤ 2C 6 (LY L p + Y L p ) .
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On en déduit, comme dans la démonstration de la proposition 8.7.3
(page 249) que, pour tout k ∈ Z,
Y W 1,p ([k,k+1]×S 1 ) ≤ C 3
LY L p ([k−1,k+2]×S 1 ) + Y L p ([k−1,k+2]×S 1 )
.
En appliquant l’inégalité (a + b)
p
≤ 2
p (a
p + b
p ), on obtient
Y
p
W 1,p ([k,k+1]×S 1 ) ≤ 2
p C
p
3
LY
p
L p ([k−1,k+2]×S 1 ) + Y
p
L p ([k−1,k+2]×S 1 )
.
On somme ensuite sur tous les entiers k et on trouve
Y
p
W 1,p (R×S 1 ) ≤ C 4
LY
p
L p (R×S 1 ) + Y
p
L p ×S 1 )
≤ C 4
LY L p (R×S 1 ) + Y L p ×S 1 )
p
et donc l’égalité espérée dans le cas où S ne dépend pas de s. Revenons
maintenant au cas général. Appelons D
± les opérateurs de Cauchy-Riemann
perturbés associés respectivement à S
± (t). Soit ε > 0. Si M > 0 est assez
grand,
S(s, t) − S
+ (t)
< ε pour s > M et t ∈ S
1
S(s, t) − S
− (t)
< ε pour s < −M et t ∈ S
1 .
et
Par conséquent, sur W
1,p ([M + ∞[ × S
1 ; R
2n ), on a L − D
+
op < ε.
Soit Y ∈ W
1,p (R × S
1 ), à support dans {s > M}. On a (d’après ce que
nous venons de faire pour S indépendante de s) :
Y W 1,p ≤ C 5
D
+ Y
L p + Y L p
= C 5
D
+ Y
L p ([M,+∞[×S 1 )
+ Y L p (R×S 1 )
≤ C 5
LY L p ([M,+∞[×S 1 ) + ε Y W 1,p ([M,+∞[×S 1 ) + Y L p (R×S 1 )
= C 5 (LY L p + ε Y W 1,p + Y L p ) .
Pour ε assez petit (ε ≤ 1/2C 5 ), l’inégalité de l’énoncé est satisfaite par Y et,
de manière analogue, c’est aussi le cas si le support de Y est dans {s < −M }.
Supposons maintenant que Y soit à support dans {|s| > M}. On le décompose comme une somme Y = Y
+ + Y
− , de deux termes Y
+ à support
dans {s > M} et Y
− à support dans {s < −M }. Bien sûr,
Y
±
L p ≤ ≤Y L p et
LY
±
L p ≤ ≤LY L p ,
donc on a
Y W 1,p ≤
Y
+
W 1,p +
Y
−
W 1,p
≤ C 6
LY
+
L p +
LY
−
L p +
Y
+
L p +
Y
−
L p
≤ 2C 6 (LY L p + Y L p ) .