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CHAPITRE 12. RÉGULARITÉ ELLIPTIQUE
12.1.c. Un fil d’Ariane. Les six énoncés précédents constituent un nouveau dédale. Pour aider les lecteurs à s’en sortir, nous proposons un nouveau
plan.
(Calderón-Zygmund)
16.5.8
+ Q 12.3.1
q y k k k k k k k k k k k k k k k
k k k k k k k k k k k k k k k
12.1.2
∂
y Ñ { { { { { { { { { { {
{ { { { { { { { { { {
12.1.5 =
12.1.2 généralisé
12.1.4
12.1.3
linéaire
8.7.2
12.1.1 et toute autre
régularité elliptique
– Nous venons de démontrer l’implication 12.1.4 ⇒ 12.1.1 (et toute autre
régularité elliptique).
– Auparavant, nous avions démontré que 12.1.2 ⇒ 12.1.3.
– Au § 12.2, nous démontrerons que 12.1.2 ⇒ 8.7.2.
– Au § 12.3, nous démontrerons que 16.5.8 ⇒ 12.3.1 ⇒ 12.1.2.
– Au § 12.4, nous démontrerons que 12.3.1 ⇒ 12.1.5 ⇒ 12.1.4.
12.2. Démonstration du lemme 8.7.2
Soit K ⊂ R × S
1 un compact et soit U ⊃ K un ouvert. Alors,
d’après 12.1.2, il existe une constante C 1 (K, U ) telle que
Y W 1,p (K) ≤ C 1
∂Y
L p (U )
+ Y L p (U )
.
Comme
∂Y
L p (U )
≤ ≤LY L p (U ) + SY L p (U ) ,
on en déduit
Y W 1,p (K) ≤ C 2
LY L p (U ) + Y L p (U )
.
Supposons maintenant que S(s, t) = S(t) et montrons l’inégalité annoncée dans ce cas. Nous avons, d’après ce qui précède
Y W 1,p ([0,1]×S 1 ) ≤ C 3
LY L p ([−1,2]×S 1 ) + Y L p ([−1,2]×S 1 )
pour une certaine constante C 3 > 0. Comme S ne dépend pas de s, l’opérateur L est invariant par translations en s, au sens où
L(Y (s + s 0 , t)) = (LY )(s + s 0 , t).