12.1. LA RÉGULARITÉ ELLIPTIQUE : POURQUOI ET COMMENT ?
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borné, u est aussi de classe C
1 et en particulier dans W
1,p
loc (R × S
1 ; W ). On
peut appliquer la proposition 12.1.4 pour terminer la démonstration.
De plus, cette proposition donne l’argument de régularité requis dans la
démonstration, page 228, du théorème 8.1.2, et cela parce que, par définition,
l’espace P
1,p (x, y) est contenu dans W
1,p
loc (R×S
1 ; W ) (voir la définition 8.2.2
de P
1,p , des cartes y sont données explicitement). Il nous suffira donc de
démontrer cette proposition.
La démonstration que nous donnerons s’appuie sur un énoncé semblable
à celui du théorème 12.1.2. Pour commencer, en prenant un nombre fini
de cartes dont les domaines recouvrent W , on peut se ramener au cas où
W = R
2n . L’application u ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) est donc solution de
∂u
∂s
+ J(u)
∂u
∂t
+ grad H t (u) = 0.
Ici, J et H sont de classe C
∞ et peuvent dépendre de s (comme au chapitre 11), sans que cela influe sur la démonstration. Posons
J(s, t) = J(u(s, t)) et h(s, t) = grad H t (u(s, t)).
En utilisant la continuité de u, on voit facilement que
J ∈ W
1,p
loc (R × S
1 ; End(R
2n )) et h ∈ W
1,p
loc (R × S
1 ; R
2n ).
Plus généralement et sans davantage de difficulté, on prouve que
J et h ont
la même régularité que u : si u ∈ W
k,p
loc (R × S
1 ; R
2n ), alors
J ∈ W
k,p
loc (R × S
1 ; End(R
2n )) et h ∈ W
k,p
loc (R × S
1 ; R
2n ).
L’énoncé qu’il faudra démontrer est :
Théorème 12.1.5. Soient k ≥ 1, p > 2,
J ∈ W
k,p
loc (R × S
1 ; End(R
2n )) vérifiant
J
2 = − Id et h ∈ W
k,p
loc (R × S
1 ; R
2n ). Si u ∈ L
p
loc (R × S
1 ; R
2n ) est
solution (au sens des distributions) de
∂u
∂s
+
J
∂u
∂t
+ h = 0,
alors u ∈ W
k+1,p
loc
(R × S
1 ; R
2n ).
Soient V ⊂ U ⊂ R × S
1 deux ouverts relativement compacts et c 0 > 0
tels que
J W k,p (U ) ≤ c 0 .
Alors il existe une constante C (dépendant de U , V , c 0 , p et k) telle que,
pour tout ∈ {0, . . . , k − 1}, on ait
u W +1,p (V ) ≤ C
h W ,p (U ) + u W ,p (U )
.