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CHAPITRE 12. RÉGULARITÉ ELLIPTIQUE
Proposition 12.1.4. Pour p > 2, une solution u ∈ W
1,p
loc (R × S
1 ; W )
de l’équation de Floer est de classe C
∞ . Sur l’espace des solutions
u ∈ W
1,p
loc (R × S
1 ; W ), les topologies C
0
loc et C
∞
loc coïncident.
La notation W
1,p
loc (R × S
1 ; W ) apparaît ici pour la première fois ; nous en
précisons la signification plus bas. Remarquons aussi que, contrairement aux
énoncés précédents, la régularité elliptique non linéaire nécessite l’hypothèse
p > 2. Voici quelques explications.
Pourquoi supposer p > 2 ? Dans tous les énoncés de régularité, il s’agit
de démontrer qu’une solution faible (solution au sens des distributions) est
une vraie solution de classe C
∞ . Dans notre cas, par hypothèse, la solution
est dans un espace de Sobolev W
1,p (R × S
1 ). Comme nous l’avons expliqué
au § 8.2, supposer p > 2 nous garantit, via le théorème de Rellich 16.4.6, que
cette solution est continue. Du même coup, ceci nous permet de travailler
en coordonnées locales.
La régularité d’une solution u : R × S
1
→ W se lit dans des cartes
de W . Mais d’autres propriétés dont il est question ici, comme par exemple
l’intégrabilité L
p (même sur des compacts) ne sont pas invariantes par
changement de carte. En revanche, si u est dans W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) et si
ϕ : R
2n
→ R
2n est continue, alors, pour p > 2, ϕ ◦ u ∈ W
1,p
loc (R × S
1 ; R
2n ).
En effet, ϕ ◦ u est dans L
p
loc (R × S
1 ; R
2n ) du fait de la continuité de u, puis
∂(ϕ ◦ u)
∂s
= (dϕ) u
∂u
∂s
∈ L
p
loc (R × S
1 ; R
2n )
(et de même pour la dérivée par rapport à t) comme produit d’une fonction continue et d’une fonction L
p
loc . Par conséquent, nous pouvons définir
l’espace W
1,p (R × S
1 ; W ) comme le sous-espace des fonctions continues qui
sont représentées en coordonnées par des fonctions W
1,p (R × S
1 ; R
2n ). Une
alternative équivalente est de plonger W dans R
m et de considérer les fonctions W
1,p
loc (R × S
1 ; R
m ) qui prennent leurs valeurs dans W (la définition
ne dépendra pas alors du plongement choisi).
Ce n’est pas la seule raison de supposer p > 2. Cette condition est essentielle aussi dans un argument de « bootstrapping elliptique » qui intervient
dans la démonstration de la régularité, précisément ci-dessous dans celle du
théorème 12.1.5.
La proposition 12.1.4 implique le lemme 12.1.1 : pour le démontrer, on
applique le théorème d’Ascoli (la famille u n est équicontinue) et on trouve
que (modulo extraction d’une sous-suite) la suite u n converge, pour la topologie C
0
loc , vers une limite u continue. Comme grad(u n ) est uniformément
CHAPITRE 12. RÉGULARITÉ ELLIPTIQUE
Proposition 12.1.4. Pour p > 2, une solution u ∈ W
1,p
loc (R × S
1 ; W )
de l’équation de Floer est de classe C
∞ . Sur l’espace des solutions
u ∈ W
1,p
loc (R × S
1 ; W ), les topologies C
0
loc et C
∞
loc coïncident.
La notation W
1,p
loc (R × S
1 ; W ) apparaît ici pour la première fois ; nous en
précisons la signification plus bas. Remarquons aussi que, contrairement aux
énoncés précédents, la régularité elliptique non linéaire nécessite l’hypothèse
p > 2. Voici quelques explications.
Pourquoi supposer p > 2 ? Dans tous les énoncés de régularité, il s’agit
de démontrer qu’une solution faible (solution au sens des distributions) est
une vraie solution de classe C
∞ . Dans notre cas, par hypothèse, la solution
est dans un espace de Sobolev W
1,p (R × S
1 ). Comme nous l’avons expliqué
au § 8.2, supposer p > 2 nous garantit, via le théorème de Rellich 16.4.6, que
cette solution est continue. Du même coup, ceci nous permet de travailler
en coordonnées locales.
La régularité d’une solution u : R × S
1
→ W se lit dans des cartes
de W . Mais d’autres propriétés dont il est question ici, comme par exemple
l’intégrabilité L
p (même sur des compacts) ne sont pas invariantes par
changement de carte. En revanche, si u est dans W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) et si
ϕ : R
2n
→ R
2n est continue, alors, pour p > 2, ϕ ◦ u ∈ W
1,p
loc (R × S
1 ; R
2n ).
En effet, ϕ ◦ u est dans L
p
loc (R × S
1 ; R
2n ) du fait de la continuité de u, puis
∂(ϕ ◦ u)
∂s
= (dϕ) u
∂u
∂s
∈ L
p
loc (R × S
1 ; R
2n )
(et de même pour la dérivée par rapport à t) comme produit d’une fonction continue et d’une fonction L
p
loc . Par conséquent, nous pouvons définir
l’espace W
1,p (R × S
1 ; W ) comme le sous-espace des fonctions continues qui
sont représentées en coordonnées par des fonctions W
1,p (R × S
1 ; R
2n ). Une
alternative équivalente est de plonger W dans R
m et de considérer les fonctions W
1,p
loc (R × S
1 ; R
m ) qui prennent leurs valeurs dans W (la définition
ne dépendra pas alors du plongement choisi).
Ce n’est pas la seule raison de supposer p > 2. Cette condition est essentielle aussi dans un argument de « bootstrapping elliptique » qui intervient
dans la démonstration de la régularité, précisément ci-dessous dans celle du
théorème 12.1.5.
La proposition 12.1.4 implique le lemme 12.1.1 : pour le démontrer, on
applique le théorème d’Ascoli (la famille u n est équicontinue) et on trouve
que (modulo extraction d’une sous-suite) la suite u n converge, pour la topologie C
0
loc , vers une limite u continue. Comme grad(u n ) est uniformément