12.1. LA RÉGULARITÉ ELLIPTIQUE : POURQUOI ET COMMENT ?
415
Théorème 12.1.3 (régularité elliptique, version linéaire). Soit L l’opérateur
L =
∂
∂s
+ J 0
∂
∂t
+ S, avec S ∈ C
∞
R × S
1 ; End(R
2n )
.
Si Y ∈ L
p (R × S
1 ; R
2n ) est tel que LY = 0 au sens des distributions,
alors Y est de classe C
∞ et Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ). Si p > 2, alors de plus
Y ∈ W
1,q (R × S
1 ; R
2n ) pour tout q > 1.
Démonstration du théorème 12.1.3. Comme Y est dans L
p ,
∂Y = −SY ∈ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
En utilisant le théorème 12.1.2, on trouve donc que Y ∈ W
1,p
loc , donc SY ∈
W
1,p
loc . Par le même théorème, on a donc Y ∈ W
2,p
loc et, par récurrence,
Y ∈ W
k,p
loc pour tout k ∈ N (c’est un bootstrapping elliptique). En utilisant le
théorème 16.4.9, on en déduit que Y est de classe C
∞ . Le théorème précédent
(aussi connu sous le nom de lemme 8.7.2) nous donne le fait qu’elle est
dans W
1,p .
Supposons maintenant que p > 2. En procédant ensuite comme dans ce
qui précède, pour obtenir que Y ∈ W
1,q (R ×S
1 ) pour tout q > 1, il suffit de
montrer que Y ∈ L
q (R × S
1 ) pour tout q > 1. Comme Y est de classe C
∞ ,
une propriété de décroissance exponentielle
Y (s, t) ≤ e
−δ|s|
∀ s, t pour une constante δ > 0
suffit. Or le théorème 8.9.1 nous garantit cette propriété dès que la fonction
s −→
1
0
Y (s, t)
2 dt
ne tend pas vers l’infini pour s → ±∞. Vérifions donc que notre Y satisfait
à cette propriété. L’inégalité de Hölder donne
1
0
Y (s, t)
2 dt ≤
1
0
Y (s, t)
p dt
2/p
.
Donc, si
1
0
Y (s, t)
2 dt tend vers l’infini, il en est de même de
1
0
Y (s, t)
p dt,
ce qui est exclu par le fait que
+∞
−∞
1
0
Y (s, t)
p dt ds = Y
p
L p < +∞.
Le théorème est ainsi démontré.
12.1.b. Énoncés de régularité elliptique (non linéaire). Les propriétés de régularité elliptique « non linéaire » sont englobées dans l’énoncé qui
suit :
415
Théorème 12.1.3 (régularité elliptique, version linéaire). Soit L l’opérateur
L =
∂
∂s
+ J 0
∂
∂t
+ S, avec S ∈ C
∞
R × S
1 ; End(R
2n )
.
Si Y ∈ L
p (R × S
1 ; R
2n ) est tel que LY = 0 au sens des distributions,
alors Y est de classe C
∞ et Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ). Si p > 2, alors de plus
Y ∈ W
1,q (R × S
1 ; R
2n ) pour tout q > 1.
Démonstration du théorème 12.1.3. Comme Y est dans L
p ,
∂Y = −SY ∈ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
En utilisant le théorème 12.1.2, on trouve donc que Y ∈ W
1,p
loc , donc SY ∈
W
1,p
loc . Par le même théorème, on a donc Y ∈ W
2,p
loc et, par récurrence,
Y ∈ W
k,p
loc pour tout k ∈ N (c’est un bootstrapping elliptique). En utilisant le
théorème 16.4.9, on en déduit que Y est de classe C
∞ . Le théorème précédent
(aussi connu sous le nom de lemme 8.7.2) nous donne le fait qu’elle est
dans W
1,p .
Supposons maintenant que p > 2. En procédant ensuite comme dans ce
qui précède, pour obtenir que Y ∈ W
1,q (R ×S
1 ) pour tout q > 1, il suffit de
montrer que Y ∈ L
q (R × S
1 ) pour tout q > 1. Comme Y est de classe C
∞ ,
une propriété de décroissance exponentielle
Y (s, t) ≤ e
−δ|s|
∀ s, t pour une constante δ > 0
suffit. Or le théorème 8.9.1 nous garantit cette propriété dès que la fonction
s −→
1
0
Y (s, t)
2 dt
ne tend pas vers l’infini pour s → ±∞. Vérifions donc que notre Y satisfait
à cette propriété. L’inégalité de Hölder donne
1
0
Y (s, t)
2 dt ≤
1
0
Y (s, t)
p dt
2/p
.
Donc, si
1
0
Y (s, t)
2 dt tend vers l’infini, il en est de même de
1
0
Y (s, t)
p dt,
ce qui est exclu par le fait que
+∞
−∞
1
0
Y (s, t)
p dt ds = Y
p
L p < +∞.
Le théorème est ainsi démontré.
12.1.b. Énoncés de régularité elliptique (non linéaire). Les propriétés de régularité elliptique « non linéaire » sont englobées dans l’énoncé qui
suit :