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CHAPITRE 12. RÉGULARITÉ ELLIPTIQUE
prouver que les solutions P
1,p produites par le recollement sont de « vraies »
solutions et convergent vers une trajectoire brisée dans la bonne topologie (lemme 9.4.17), puis au chapitre 11, où des énoncés de compacité,
transversalité et recollement sont prouvés dans un cadre plus général, où
la structure presque complexe J et le hamiltonien H dépendent de s et
quelquefois d’un autre paramètre λ.
On voit donc que la régularité elliptique intervient dans toutes les étapes
de la construction de l’homologie de Floer. C’est pourquoi nous allons donner des énoncés rigoureux et des démonstrations détaillées de ces propriétés
dans ce qui suit. Nous avons utilisé principalement [44].
12.1.a. Énoncés de régularité elliptique (linéaire). Les énoncés de
régularité elliptique auxquels il a été fait référence dans ce texte sont apparentés au théorème :
Théorème 12.1.2. Soit p > 1 et soit U ⊂ C un ouvert. Soit f ∈ W
k,p
loc (U )
et soit u ∈ L
p
loc (U ) une solution faible de ∂u = f . Alors u ∈ W
k+1,p
loc
(U ).
De plus, pour tout ouvert relativement compact V avec V ⊂ U , il existe une
constante C = C(k, p, K, U ) telle que
u W k+1,p (V ) ≤ C
f W k,p (U ) + u L p (U )
.
Nous démontrons ce théorème au § 12.3. Une de ses premières conséquences est l’estimation suivante, utilisée dans le chapitre 8, et qui est l’analogue, pour l’opérateur L, du théorème 12.1.2.
Théorème (lemme 8.7.2). Soit p > 1, soit S : R × S
1
→ End(R
2n ) une
application continue avec lim s→±∞ S(s, t) = S
± (t) et soit enfin
L : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
l’opérateur de Cauchy-Riemann perturbé
LY =
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S · Y.
Il existe une constante C > 0 telle que
∀ Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), Y W 1,p ≤ C (LY L p + Y L p ) .
Plus généralement, si Y et LY sont dans L
p , alors Y ∈ W
1,p et l’égalité
ci-dessus a lieu.
Nous le démontrons au § 12.2. Nous utilisons aussi le théorème 12.1.2
pour obtenir un résultat de régularité pour le linéarisé de l’opérateur de
Floer.
CHAPITRE 12. RÉGULARITÉ ELLIPTIQUE
prouver que les solutions P
1,p produites par le recollement sont de « vraies »
solutions et convergent vers une trajectoire brisée dans la bonne topologie (lemme 9.4.17), puis au chapitre 11, où des énoncés de compacité,
transversalité et recollement sont prouvés dans un cadre plus général, où
la structure presque complexe J et le hamiltonien H dépendent de s et
quelquefois d’un autre paramètre λ.
On voit donc que la régularité elliptique intervient dans toutes les étapes
de la construction de l’homologie de Floer. C’est pourquoi nous allons donner des énoncés rigoureux et des démonstrations détaillées de ces propriétés
dans ce qui suit. Nous avons utilisé principalement [44].
12.1.a. Énoncés de régularité elliptique (linéaire). Les énoncés de
régularité elliptique auxquels il a été fait référence dans ce texte sont apparentés au théorème :
Théorème 12.1.2. Soit p > 1 et soit U ⊂ C un ouvert. Soit f ∈ W
k,p
loc (U )
et soit u ∈ L
p
loc (U ) une solution faible de ∂u = f . Alors u ∈ W
k+1,p
loc
(U ).
De plus, pour tout ouvert relativement compact V avec V ⊂ U , il existe une
constante C = C(k, p, K, U ) telle que
u W k+1,p (V ) ≤ C
f W k,p (U ) + u L p (U )
.
Nous démontrons ce théorème au § 12.3. Une de ses premières conséquences est l’estimation suivante, utilisée dans le chapitre 8, et qui est l’analogue, pour l’opérateur L, du théorème 12.1.2.
Théorème (lemme 8.7.2). Soit p > 1, soit S : R × S
1
→ End(R
2n ) une
application continue avec lim s→±∞ S(s, t) = S
± (t) et soit enfin
L : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
l’opérateur de Cauchy-Riemann perturbé
LY =
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S · Y.
Il existe une constante C > 0 telle que
∀ Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), Y W 1,p ≤ C (LY L p + Y L p ) .
Plus généralement, si Y et LY sont dans L
p , alors Y ∈ W
1,p et l’égalité
ci-dessus a lieu.
Nous le démontrons au § 12.2. Nous utilisons aussi le théorème 12.1.2
pour obtenir un résultat de régularité pour le linéarisé de l’opérateur de
Floer.