CHAPITRE 12
LA RÉGULARITÉ ELLIPTIQUE DE
L’OPÉRATEUR DE FLOER
12.1. La régularité elliptique : pourquoi et comment ?
Nous avons invoqué à plusieurs reprises, sous le nom de « régularité elliptique », la régularité des solutions de l’équation de Floer
∂u
∂s
+ J(u)
∂u
∂t
+ grad H t (u) = 0.
Tout d’abord, au chapitre 6, nous en avons eu besoin pour montrer la compacité de l’espace M des solutions d’énergie finie (précisément, la proposition 6.5.3). L’énoncé utilisé est :
Lemme 12.1.1 (régularité elliptique). Soit U un ouvert de C. Toute solution
de classe C
1 de l’équation de Floer
∂u
∂s
+ J(u)
∂u
∂t
+ grad H t (u) = 0
est de classe C
∞ . Toute suite (u n ) de solutions définies sur U et satisfaisant à
sup
n∈N
grad u n L ∞ (U ) ≤ M
(pour un certain M réel) a une sous-suite qui converge uniformément avec
toutes ses dérivées sur tout compact de U .
Ensuite, dans la démonstration du théorème de transversalité 8.1.2,
page 228, nous avons également fait appel à la régularité elliptique pour
justifier le fait que les solutions de l’équation de Floer dans l’espace de type
Sobolev P
1,p (x, y) sont de classe C
∞ et que la topologie induite par celle de
P
1,p sur cet espace de solutions est la même sur celle de M, c’est-à-dire la
topologie C
∞
loc (P
1,p (x, y) est défini par 8.2.2).
Par la suite, l’argument de régularité elliptique est apparu dans les
situations similaires que nous avons eu à envisager : au chapitre 9 pour