11.6. CONCLUSION
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et que L ρn = (dF ρn ) 0 est bijective comme nous l’avons vu au § 11.5.a.
Mais nous ne pouvons pas appliquer directement le théorème d’inversion
locale puisque la taille du voisinage sur lequel F ρn est bijective pourrait
décroître lorsque n croît et Y n pourrait n’être pas contenu dans ce voisinage.
Nous utilisons le lemme d’unicité 9.6.16 qui affirme que la solution γ ρn de
F ρn (Y ) = 0 obtenue par la méthode de Newton-Picard est la seule dans une
boule B(0, ε 0 ), la constante ε 0 ne dépendant pas de n.
Donc, comme la norme W
1,p de Y n tend vers 0, on a Y n = γ ρn et la
démonstration de la proposition 11.5.9 est terminée.
Nous obtenons donc la surjectivité de χ ρ pour ρ assez grand, qui nous
manquait pour finir la démonstration de la proposition 11.5.3.
Celle-ci implique, trivialement, la proposition 11.5.2 : le lemme 11.5.1
affirme que Γ ρ est régulière pour des valeurs arbitrairement grandes de ρ et
la proposition 11.5.3 implique que, à partir d’une certaine valeur de ρ,
Φ
Γρ = Φ
Γ
◦ Φ
Γ
si le membre de gauche est défini.
Enfin, la proposition 11.5.2 implique évidemment la proposition 11.2.9,
qui était l’objectif de cette section. Les propositions 11.2.8 et 11.2.9 entraînent l’invariance de l’homologie de Floer par rapport au choix d’un
couple régulier (H, J).
11.6. Conclusion
Nous avons réalisé les objectifs du plan énoncé au § 6.2 (page 134) et
démontré la conjecture d’Arnold.
Il faut signaler que l’homologie de Floer et ses diverses parentes ont bien
d’autres applications à la géométrie symplectique et de contact que cette
conjecture. La deuxième partie de ce livre constitue, en fait, un point de
départ pour les lecteurs intéressés par les aspects modernes de la topologie
symplectique. Pour ceux qui voudraient poursuivre la route, voici quelques
directions et références.
Tout d’abord, l’étude des sous-variétés lagrangiennes des variétés symplectiques, déjà entreprise par Floer dans [23], voir aussi les travaux de
Oh [52, 53, 54], Seidel et Fukaya [27, 63, 64], et, plus près de nous, ceux
de Damian [18] et Gadbled [28].
Puis, la généralisation de notre construction au cas des variétés symplectiques à bord de type contact. Dans ce cas, l’homologie de Floer n’est plus
isomorphe à celle de Morse comme ici, mais prend en compte les caractéristiques fermées du bord. Ceci mène vers l’homologie symplectique développée
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et que L ρn = (dF ρn ) 0 est bijective comme nous l’avons vu au § 11.5.a.
Mais nous ne pouvons pas appliquer directement le théorème d’inversion
locale puisque la taille du voisinage sur lequel F ρn est bijective pourrait
décroître lorsque n croît et Y n pourrait n’être pas contenu dans ce voisinage.
Nous utilisons le lemme d’unicité 9.6.16 qui affirme que la solution γ ρn de
F ρn (Y ) = 0 obtenue par la méthode de Newton-Picard est la seule dans une
boule B(0, ε 0 ), la constante ε 0 ne dépendant pas de n.
Donc, comme la norme W
1,p de Y n tend vers 0, on a Y n = γ ρn et la
démonstration de la proposition 11.5.9 est terminée.
Nous obtenons donc la surjectivité de χ ρ pour ρ assez grand, qui nous
manquait pour finir la démonstration de la proposition 11.5.3.
Celle-ci implique, trivialement, la proposition 11.5.2 : le lemme 11.5.1
affirme que Γ ρ est régulière pour des valeurs arbitrairement grandes de ρ et
la proposition 11.5.3 implique que, à partir d’une certaine valeur de ρ,
Φ
Γρ = Φ
Γ
◦ Φ
Γ
si le membre de gauche est défini.
Enfin, la proposition 11.5.2 implique évidemment la proposition 11.2.9,
qui était l’objectif de cette section. Les propositions 11.2.8 et 11.2.9 entraînent l’invariance de l’homologie de Floer par rapport au choix d’un
couple régulier (H, J).
11.6. Conclusion
Nous avons réalisé les objectifs du plan énoncé au § 6.2 (page 134) et
démontré la conjecture d’Arnold.
Il faut signaler que l’homologie de Floer et ses diverses parentes ont bien
d’autres applications à la géométrie symplectique et de contact que cette
conjecture. La deuxième partie de ce livre constitue, en fait, un point de
départ pour les lecteurs intéressés par les aspects modernes de la topologie
symplectique. Pour ceux qui voudraient poursuivre la route, voici quelques
directions et références.
Tout d’abord, l’étude des sous-variétés lagrangiennes des variétés symplectiques, déjà entreprise par Floer dans [23], voir aussi les travaux de
Oh [52, 53, 54], Seidel et Fukaya [27, 63, 64], et, plus près de nous, ceux
de Damian [18] et Gadbled [28].
Puis, la généralisation de notre construction au cas des variétés symplectiques à bord de type contact. Dans ce cas, l’homologie de Floer n’est plus
isomorphe à celle de Morse comme ici, mais prend en compte les caractéristiques fermées du bord. Ceci mène vers l’homologie symplectique développée