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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
(3) Si −ρ n + A < s < ρ n − A, alors −σ n < s < τ n , donc n (s) ∈ B(y, δ).
Puis
u(s + ρ n ) et v(s − ρ n ) ∈ B(y, δ),
donc w ρn (s) ∈ B(y, δ) (toujours par le lemme 9.6.11). On utilise ce lemme
pour définir Y n .
(4) Si ρ n − A < s < ρ n + A, on utilise le fait que n (s + ρ n ) tend vers
v(s), uniformément sur s ∈ [−A, A].
(5) Si s > ρ n + A > τ
n , on a n (s) ∈ B(z, δ) et w ρn (s) = v(s − ρ n ) ∈
B(z, δ) ce qui nous permet de définir Y n en utilisant, toujours, le
lemme 9.6.11.
Cela termine la preuve dans le cas où u et v ne sont pas constantes en s.
Si l’une des deux solutions (ou toutes les deux) est (sont) constante(s), la
preuve se simplifie. Supposons par exemple que v soit constante en s (en
particulier, alors, y = z). La preuve du théorème 9.1.6, qui construit la
trajectoire brisée limite de n , implique alors que n (s) ∈ B(z, δ) pour tout
s > s
− ρ n (pour une certaine constante s
). Le pré-recollement w ρn (s) a
évidemment la même propriété, puisque, pour s ≥ −ρ n + A,
u(s + ρ n ) ∈ B(y, δ) = B(z, δ) et v(s − ρ n ) = y = z ∈ B(z, δ).
Il suffira donc de définir Y n pour les intervalles décrits dans (1) et (2) et
cela se fait de façon analogue.
La démonstration de la proposition 11.5.11 se fait exactement comme
celle de 11.2.4 au § 9.6.c. Le fait que
Y n ∈ W
1,p (w
ρ T W )
résulte (de l’analogue) du lemme 9.6.13 (démontré de façon identique).
Pour montrer que lim Y n W 1,p = 0, on fait une estimation, comme dans
la preuve de la proposition 11.2.4, à l’aide (de l’analogue) du lemme 13.7.1.
Notons que le lemme 9.6.14 est ici inutile (puisque μ(x) = μ(y) = μ(z), donc
W n = 0), l’estimation de la norme W
1,p de Y n est plus facile à obtenir.
Fin de la démonstration de la proposition 11.5.9. Nous voulons démontrer
que, pour n assez grand,
n = χ ρn (u, v),
autrement dit que
exp wρ n Y n = exp wρ n γ ρn ,
c’est-à-dire Y n = γ ρn . Nous savons que
F ρn (Y n ) = F ρn (γ ρn ) = 0
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
(3) Si −ρ n + A < s < ρ n − A, alors −σ n < s < τ n , donc n (s) ∈ B(y, δ).
Puis
u(s + ρ n ) et v(s − ρ n ) ∈ B(y, δ),
donc w ρn (s) ∈ B(y, δ) (toujours par le lemme 9.6.11). On utilise ce lemme
pour définir Y n .
(4) Si ρ n − A < s < ρ n + A, on utilise le fait que n (s + ρ n ) tend vers
v(s), uniformément sur s ∈ [−A, A].
(5) Si s > ρ n + A > τ
n , on a n (s) ∈ B(z, δ) et w ρn (s) = v(s − ρ n ) ∈
B(z, δ) ce qui nous permet de définir Y n en utilisant, toujours, le
lemme 9.6.11.
Cela termine la preuve dans le cas où u et v ne sont pas constantes en s.
Si l’une des deux solutions (ou toutes les deux) est (sont) constante(s), la
preuve se simplifie. Supposons par exemple que v soit constante en s (en
particulier, alors, y = z). La preuve du théorème 9.1.6, qui construit la
trajectoire brisée limite de n , implique alors que n (s) ∈ B(z, δ) pour tout
s > s
− ρ n (pour une certaine constante s
). Le pré-recollement w ρn (s) a
évidemment la même propriété, puisque, pour s ≥ −ρ n + A,
u(s + ρ n ) ∈ B(y, δ) = B(z, δ) et v(s − ρ n ) = y = z ∈ B(z, δ).
Il suffira donc de définir Y n pour les intervalles décrits dans (1) et (2) et
cela se fait de façon analogue.
La démonstration de la proposition 11.5.11 se fait exactement comme
celle de 11.2.4 au § 9.6.c. Le fait que
Y n ∈ W
1,p (w
ρ T W )
résulte (de l’analogue) du lemme 9.6.13 (démontré de façon identique).
Pour montrer que lim Y n W 1,p = 0, on fait une estimation, comme dans
la preuve de la proposition 11.2.4, à l’aide (de l’analogue) du lemme 13.7.1.
Notons que le lemme 9.6.14 est ici inutile (puisque μ(x) = μ(y) = μ(z), donc
W n = 0), l’estimation de la norme W
1,p de Y n est plus facile à obtenir.
Fin de la démonstration de la proposition 11.5.9. Nous voulons démontrer
que, pour n assez grand,
n = χ ρn (u, v),
autrement dit que
exp wρ n Y n = exp wρ n γ ρn ,
c’est-à-dire Y n = γ ρn . Nous savons que
F ρn (Y n ) = F ρn (γ ρn ) = 0