11.5. FIN DE LA PREUVE DE L’INVARIANCE
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Démonstration. Supposons que (σ
n − ρ n ) tende vers +∞. Alors, par la proposition 11.5.6, la suite n (s − σ
n ) converge vers , solution de l’équation
de Floer associée à (H
a , J
a ) (voir au besoin la démonstration du point (2)
de 11.5.6). Par ailleurs, la définition de σ
n implique que (s) ∈ B(x, δ) pour
tous les s négatifs, ce qui entraîne que
∈ M
(H
a ,J
a ) (x, y
) pour un y ∈ Crit A H a .
Comme (0) ∈ ∂B(x, δ), on sait que y
= x. Mais ce n’est pas possible,
puisque nous avons démontré (lorsque nous démontrions la proposition 11.5.5) que la trajectoire brisée vers laquelle tend n ne peut pas
contenir de trajectoires non constantes de l’équation de Floer associée à
(H
a , J
a ).
Supposons maintenant que σ n − ρ n tende vers −∞. Toujours en utilisant
la proposition 11.5.6, la suite ( n (s−σ n )) converge vers une limite solution
de l’équation de Floer associée à (H
b , J
b ). Nous avons
(0) = lim
n→+∞
n (σ n ) ∈ ∂B(y, δ).
Par ailleurs σ n tend vers +∞ (sinon, si σ n est bornée, comme n converge
vers y dans C
∞
loc , n (σ n ) ne peut pas appartenir à ∂B(y, δ)).
Soit s > 0. Pour n assez grand, on a s − σ n ∈ ] − σ n , 0], donc n (s − σ n ) ∈
B(y, δ), d’où (s) ∈ B(y, δ). On en déduit que est une solution non
constante de l’équation de Floer associée à (H
b , J
b ). Elle apparaît dans
la trajectoire brisée qui est la limite de n (cette trajectoire commencerait
par u, ,). Cela est impossible, comme précédemment.
On procède de manière analogue pour démontrer les assertions sur τ n
et τ
n .
Soit A > 0 et tel que toutes les suites de l’énoncé précédent prennent
leurs valeurs dans [−A, A] et tel que
u(s) ∈ B(x, δ) pour s < −A, u(s) ∈ B(y, δ) pour s > A,
v(s) ∈ B(y, δ) pour s < −A et v(s) ∈ B(z, δ) pour s > A.
Comme dans la démonstration de la proposition 9.6.3, on découpe R en
plusieurs intervalles et on définit Y n (s) pour s dans chacun des intervalles :
(1) Si s < −ρ n − A < −σ
n , alors n (s) ∈ B(x, δ),
w ρn (s) = u(s + ρ n ) ∈ B(x, δ)
et on utilise le lemme 9.6.11.
(2) Si −ρ n − A < s < −ρ n + A, on utilise le fait que n (s − ρ n ) tend vers
u(s) uniformément sur s ∈ [−A, A].
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Démonstration. Supposons que (σ
n − ρ n ) tende vers +∞. Alors, par la proposition 11.5.6, la suite n (s − σ
n ) converge vers , solution de l’équation
de Floer associée à (H
a , J
a ) (voir au besoin la démonstration du point (2)
de 11.5.6). Par ailleurs, la définition de σ
n implique que (s) ∈ B(x, δ) pour
tous les s négatifs, ce qui entraîne que
∈ M
(H
a ,J
a ) (x, y
) pour un y ∈ Crit A H a .
Comme (0) ∈ ∂B(x, δ), on sait que y
= x. Mais ce n’est pas possible,
puisque nous avons démontré (lorsque nous démontrions la proposition 11.5.5) que la trajectoire brisée vers laquelle tend n ne peut pas
contenir de trajectoires non constantes de l’équation de Floer associée à
(H
a , J
a ).
Supposons maintenant que σ n − ρ n tende vers −∞. Toujours en utilisant
la proposition 11.5.6, la suite ( n (s−σ n )) converge vers une limite solution
de l’équation de Floer associée à (H
b , J
b ). Nous avons
(0) = lim
n→+∞
n (σ n ) ∈ ∂B(y, δ).
Par ailleurs σ n tend vers +∞ (sinon, si σ n est bornée, comme n converge
vers y dans C
∞
loc , n (σ n ) ne peut pas appartenir à ∂B(y, δ)).
Soit s > 0. Pour n assez grand, on a s − σ n ∈ ] − σ n , 0], donc n (s − σ n ) ∈
B(y, δ), d’où (s) ∈ B(y, δ). On en déduit que est une solution non
constante de l’équation de Floer associée à (H
b , J
b ). Elle apparaît dans
la trajectoire brisée qui est la limite de n (cette trajectoire commencerait
par u, ,). Cela est impossible, comme précédemment.
On procède de manière analogue pour démontrer les assertions sur τ n
et τ
n .
Soit A > 0 et tel que toutes les suites de l’énoncé précédent prennent
leurs valeurs dans [−A, A] et tel que
u(s) ∈ B(x, δ) pour s < −A, u(s) ∈ B(y, δ) pour s > A,
v(s) ∈ B(y, δ) pour s < −A et v(s) ∈ B(z, δ) pour s > A.
Comme dans la démonstration de la proposition 9.6.3, on découpe R en
plusieurs intervalles et on définit Y n (s) pour s dans chacun des intervalles :
(1) Si s < −ρ n − A < −σ
n , alors n (s) ∈ B(x, δ),
w ρn (s) = u(s + ρ n ) ∈ B(x, δ)
et on utilise le lemme 9.6.11.
(2) Si −ρ n − A < s < −ρ n + A, on utilise le fait que n (s − ρ n ) tend vers
u(s) uniformément sur s ∈ [−A, A].