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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
En faisant tendre s vers +∞ et σ vers −∞, on trouve
A H b (y
) ≥ A H b (y).
De même
A H b (a(σ)) = lim
n→+∞
A H b ( n (σ))
≤ lim
n→+∞
A H b ( n (s − ρ n ))
= A H b (u(s)).
On fait de nouveau tendre s vers +∞ et σ vers −∞ et on trouve
A H b (y
) ≤ A H b (y).
Mais A H b (y
) ≥ A H b (y
), de sorte que
A H b (y
) = A H b (y
) = A H b (y),
donc a est constante en s (et plus précisément a(s) = y) puisque les valeurs
critiques de A H b ont été supposées distinctes.
Supposons que les solutions u et v ne soient pas constantes en s. Choisissons des boules B(x, δ), B(y, δ) et B(z, δ) dans l’espace des lacets LW , qui
satisfont aux propriétés du lemme 9.6.11. Quitte à diminuer δ si nécessaire,
on peut également supposer que les lacets u(0) et v(0) ne sont contenus dans
aucune de ces boules. Elles ne contiennent pas d’autres lacets de Crit A H a ,
Crit A H b et Crit A H c que x, y et z respectivement.
Grâce au lemme que nous venons de démontrer, nous savons que (0) ∈
B(y, δ) pour n assez grand. Comme dans la démonstration de la proposition 9.6.3, définissons
σ n = sup {s > 0 | n ([−s, 0]) ⊂ B(y, δ)}
τ n = sup {s > 0 | n ([0, s]) ⊂ B(y, δ)}
σ
n = inf {s > 0 | n (] − ∞, −s]) ⊂ B(x, δ)}
τ
n = inf {s > 0 | n ([s, +∞[) ⊂ B(z, δ)} .
Comme lim n (−ρ n ) = u(0) et lim n (ρ n ) = v(0), on déduit que
−σ
n < −ρ n < −σ n et τ n < ρ n < τ
n .
La construction de ces suites implique également que
n (σ n ), , n (τ n ) ∈ ∂B(y, δ), , n (σ
n ) ∈ ∂B(x, δ), , n (τ
n ) ∈ ∂B(z, δ).
D’où l’on déduit :
Lemme 11.5.13. Les suites (ρ n − σ n ), (ρ n − σ
n ), (ρ n − τ n ) et (ρ n − τ
n ) sont
bornées.