11.5. FIN DE LA PREUVE DE L’INVARIANCE
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Nous avons maintenant une suite n /
∈ Im(χ ρn ) et telle que
lim
n→+∞
n (s − ρ n , t) = u(s, t) ∈ M
Γ
(x, y)
lim
n→+∞
n (s + ρ n , t) = v(s, t) ∈ M
Γ
(y, z).
et
Pour obtenir une contradiction, montrons :
Proposition 11.5.9. Pour n assez grand, n = χ ρn (u, v).
La démonstration suit le schéma de celle de l’unicité du recollement (dans
le théorème 11.1.16). Nous montrons un analogue de la proposition 11.2.3 :
Proposition 11.5.10. Pour n assez grand, il existe Y n ∈ w
ρ n T W tel que
n = exp wρ n Y n et
lim
n→+∞
Y n ∞ = 0.
Puis nous montrons, comme dans la proposition 11.2.4 :
Proposition 11.5.11. Le champ Y n est dans W
1,p (w
ρ n
T W ). De plus,
lim n→+∞ Y n W 1,p = 0.
Enfin, nous terminons la démonstration en utilisant la partie unicité de
la méthode de Newton-Picard (lemme 9.4.4).
Démonstration de la proposition 11.5.10. Commençons par un lemme :
Lemme 11.5.12. La suite ( n (s, t)) n converge vers y(t) dans la topologie C
∞
loc .
Démonstration. Remarquons que, pour s ∈ [−ρ n + R, ρ n − R], on a
(H ρn , J ρn ) = (H
b , J
b ).
Donc, la restriction de n à ∈ [−ρ n + R, ρ n − R] × S
1 est une solution de
l’équation de Floer associée à (H
b , J
b ). En particulier, la fonction
s −→ A H b ( n (s))
est décroissante sur cet intervalle.
Notons a la limite (d’une sous-suite convergente) de n , dont l’existence
est assurée par l’assertion (1) de la proposition 11.5.6. La démonstration de
l’assertion (2) de cette même proposition implique que
a ∈ M
(H
b ,J
b ) (y
, y
) pour des y
, y
∈ Crit A H b .
Fixons s > R et σ < −R. Pour n assez grand, on a σ + ρ n > s. On en déduit
A H b (a(s)) = lim
n→+∞
A H b ( n (s))
≥ lim
n→+∞
A H b ( n (σ + ρ n ))
= A H b (v(σ)).