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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Si, dans la trajectoire brisée qui est la limite de n , il y a deux trajectoires
∈ C
∞
(x, y) et
∈ C
∞
(y, z), non constantes en s, alors, d’après ce qui
précède,
= u et
= v, donc
u ∈ M
Γ
(x, y) et v ∈ M
Γ
(y, z),
ce qui achève la démonstration (comme il ne peut y avoir plus de deux
trajectoires non constantes en s, le point d’arrivée de
coïncide avec le
point de départ de
).
Supposons maintenant qu’il n’y ait qu’une trajectoire de Floer non
constante ∈ C
∞ (x, z) dans la limite de n . Cette trajectoire est donc
égale à u ou à v. Supposons, sans restreindre la généralité, que = u. Ainsi,
lim
n→+∞
n (s − ρ n , t) = u ∈ M
Γ
(x, z).
Avec les notations de la démonstration du théorème 9.1.6 sur les trajectoires
brisées, il existe s
∈ R tel que le lacet u(s, ·) ∈ B(z, ε) pour s > s
et par
conséquent le lacet n (s
− ρ n , ·) est lui aussi dans la boule B(z, ε) pour n
assez grand.
La démonstration du théorème 9.1.6 implique alors que n (s, ·) ∈ B(z, ε)
pour tout s > s
− ρ n . Autrement, il y aurait une autre trajectoire non
constante dans la limite (construite comme dans cette démonstration). Cela
implique que, pour v(s, t) = lim n→+∞ n (s + ρ n , t), v ∈ M
Γ
(z, z) (en fait,
cette trajectoire est constante égale à z si l’on choisit ε assez petit). Ceci
termine la démonstration de la proposition 11.5.5 dans ce cas aussi.
Remarque 11.5.8. La difficulté vient ici du fait que la seule définition de
la convergence vers une trajectoire brisée, telle que donnée dans l’énoncé
du théorème 9.1.6, ne garantit pas ici une limite unique
(2) . Il faut donc
ici faire appel à la démonstration de ce théorème pour construire la limite
(
1 , . . . , ,
m ) considérée ici.
Enfin, si toutes les trajectoires dans la limite de n sont constantes, dans
C
∞ (x, z) (en particulier, alors, x = z), la démonstration du théorème 9.1.6
dit que n (s) ∈ B(x, ε) pour tout s. En particulier,
u(s, t) = lim
n→+∞
n (s − ρ n , t) ∈ M
Γ
(x, z)
v(s, t) = lim
n→+∞
n (s + ρ n , t) ∈ M
Γ
(x, z).
et
Ici on pourrait aussi montrer que u est constante égale à x et v aussi, en
choisissant ε assez petit pour que toutes les trajectoires non constantes en s
de M
Γ
(x, x) et M
Γ
(x, x) quittent B(x, ε).
La démonstration de la proposition 11.5.5 est terminée.
(2) Contrairement au cas traité par le théorème 9.1.6.
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Si, dans la trajectoire brisée qui est la limite de n , il y a deux trajectoires
∈ C
∞
(x, y) et
∈ C
∞
(y, z), non constantes en s, alors, d’après ce qui
précède,
= u et
= v, donc
u ∈ M
Γ
(x, y) et v ∈ M
Γ
(y, z),
ce qui achève la démonstration (comme il ne peut y avoir plus de deux
trajectoires non constantes en s, le point d’arrivée de
coïncide avec le
point de départ de
).
Supposons maintenant qu’il n’y ait qu’une trajectoire de Floer non
constante ∈ C
∞ (x, z) dans la limite de n . Cette trajectoire est donc
égale à u ou à v. Supposons, sans restreindre la généralité, que = u. Ainsi,
lim
n→+∞
n (s − ρ n , t) = u ∈ M
Γ
(x, z).
Avec les notations de la démonstration du théorème 9.1.6 sur les trajectoires
brisées, il existe s
∈ R tel que le lacet u(s, ·) ∈ B(z, ε) pour s > s
et par
conséquent le lacet n (s
− ρ n , ·) est lui aussi dans la boule B(z, ε) pour n
assez grand.
La démonstration du théorème 9.1.6 implique alors que n (s, ·) ∈ B(z, ε)
pour tout s > s
− ρ n . Autrement, il y aurait une autre trajectoire non
constante dans la limite (construite comme dans cette démonstration). Cela
implique que, pour v(s, t) = lim n→+∞ n (s + ρ n , t), v ∈ M
Γ
(z, z) (en fait,
cette trajectoire est constante égale à z si l’on choisit ε assez petit). Ceci
termine la démonstration de la proposition 11.5.5 dans ce cas aussi.
Remarque 11.5.8. La difficulté vient ici du fait que la seule définition de
la convergence vers une trajectoire brisée, telle que donnée dans l’énoncé
du théorème 9.1.6, ne garantit pas ici une limite unique
(2) . Il faut donc
ici faire appel à la démonstration de ce théorème pour construire la limite
(
1 , . . . , ,
m ) considérée ici.
Enfin, si toutes les trajectoires dans la limite de n sont constantes, dans
C
∞ (x, z) (en particulier, alors, x = z), la démonstration du théorème 9.1.6
dit que n (s) ∈ B(x, ε) pour tout s. En particulier,
u(s, t) = lim
n→+∞
n (s − ρ n , t) ∈ M
Γ
(x, z)
v(s, t) = lim
n→+∞
n (s + ρ n , t) ∈ M
Γ
(x, z).
et
Ici on pourrait aussi montrer que u est constante égale à x et v aussi, en
choisissant ε assez petit pour que toutes les trajectoires non constantes en s
de M
Γ
(x, x) et M
Γ
(x, x) quittent B(x, ε).
La démonstration de la proposition 11.5.5 est terminée.
(2) Contrairement au cas traité par le théorème 9.1.6.