11.5. FIN DE LA PREUVE DE L’INVARIANCE
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solutions des équations de Floer correspondant à un des couples (H
a , J
a ),
(H
, J
), (H
b , J
b ), (H
, J
), (H
c , J
c ). Les lacets x k sont donc des points
critiques de A H a , A H b ou A H c .
D’autre part, s’il existe une limite k qui est une solution non constante
en s de l’équation de Floer associée à (H
a , J
a ), (H
b , J
b ) ou (H
c , J
c ), on
déduit que μ(x k ) − μ(x k+1 ) ≥ 1 (comme dans le corollaire 11.1.11) et donc
que μ(x) − μ(z) ≥ 1, contrairement à l’hypothèse faite (μ(x) = μ(z)).
Remarque 11.5.7. Il faut remarquer ici que l’on ne peut pas écarter d’éventuelles solutions de l’équation de Floer qui seraient constantes par rapport
à s, puisqu’on ne peut pas exclure le cas où l’une des homotopies Γ
, Γ
ou Γ ρ est triviale.
Il se pourrait aussi qu’il y ait une égalité entre des couples (H
a , J
a ),
(H
b , J
b ), (H
c , J
c ) (sans que l’homotopie joignant deux couples identiques
soit nécessairement triviale). Cela force à considérer des cas d’égalité
entre x, y et z.
Revenons à notre démonstration. Supposons que, parmi les limites
1 , . . . , ,
m , il y en ait une, disons
k , qui ne soit pas constante en s. D’après
la démonstration du point (2) de la proposition 11.5.6, on peut supposer
(quitte à ajouter une constante à la suite (s
k
n ) n ) que
k est solution de
l’équation de Floer associée à Γ
ou Γ
, et que s
k
n = −ρ n ou s
k
n = ρ n .
D’autre part, la démonstration du théorème 9.1.6 donne des suites s
k
n qui
ont la propriété
lim
n→+∞
s
k+1
n
− s
k
n = +∞.
Il y a donc au plus deux limites
k comme ci-dessus, une pour s
k
n = −ρ n ,
l’autre pour s
k
n = ρ n : en effet, de telles suites devraient (d’après l’énoncé (2)
de la proposition 11.5.6) différer de −ρ n ou de ρ n par des suites bornées
(rappelons qu’il n’existe pas de
k non-constante en s, solution de Floer
associée à (H
a , J
a ), (H
b , J
b ) ou (H
c , J
c )).
Donc la trajectoire brisée vers laquelle converge la suite n est composée
de solutions de l’équation de Floer constantes en s et d’au plus une trajectoire associée à Γ
(pour la suite s n = −ρ n ) d’une associée à Γ
(pour
s n = ρ n ). Toujours grâce à la proposition 11.5.6, si
u = lim
s→+∞
n (s − ρ n , t) et v = lim
n→+∞
n (s + ρ n , t),
alors
u ∈ M
Γ
(x
, y
) et v ∈ M
Γ
(y
, z
)
pour
x ∈ Crit A H a , y
, y
∈ Crit A H b , z
∈ Crit A H c .
Nous voulons montrer que x
= x, y
= y
et z
= z.
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solutions des équations de Floer correspondant à un des couples (H
a , J
a ),
(H
, J
), (H
b , J
b ), (H
, J
), (H
c , J
c ). Les lacets x k sont donc des points
critiques de A H a , A H b ou A H c .
D’autre part, s’il existe une limite k qui est une solution non constante
en s de l’équation de Floer associée à (H
a , J
a ), (H
b , J
b ) ou (H
c , J
c ), on
déduit que μ(x k ) − μ(x k+1 ) ≥ 1 (comme dans le corollaire 11.1.11) et donc
que μ(x) − μ(z) ≥ 1, contrairement à l’hypothèse faite (μ(x) = μ(z)).
Remarque 11.5.7. Il faut remarquer ici que l’on ne peut pas écarter d’éventuelles solutions de l’équation de Floer qui seraient constantes par rapport
à s, puisqu’on ne peut pas exclure le cas où l’une des homotopies Γ
, Γ
ou Γ ρ est triviale.
Il se pourrait aussi qu’il y ait une égalité entre des couples (H
a , J
a ),
(H
b , J
b ), (H
c , J
c ) (sans que l’homotopie joignant deux couples identiques
soit nécessairement triviale). Cela force à considérer des cas d’égalité
entre x, y et z.
Revenons à notre démonstration. Supposons que, parmi les limites
1 , . . . , ,
m , il y en ait une, disons
k , qui ne soit pas constante en s. D’après
la démonstration du point (2) de la proposition 11.5.6, on peut supposer
(quitte à ajouter une constante à la suite (s
k
n ) n ) que
k est solution de
l’équation de Floer associée à Γ
ou Γ
, et que s
k
n = −ρ n ou s
k
n = ρ n .
D’autre part, la démonstration du théorème 9.1.6 donne des suites s
k
n qui
ont la propriété
lim
n→+∞
s
k+1
n
− s
k
n = +∞.
Il y a donc au plus deux limites
k comme ci-dessus, une pour s
k
n = −ρ n ,
l’autre pour s
k
n = ρ n : en effet, de telles suites devraient (d’après l’énoncé (2)
de la proposition 11.5.6) différer de −ρ n ou de ρ n par des suites bornées
(rappelons qu’il n’existe pas de
k non-constante en s, solution de Floer
associée à (H
a , J
a ), (H
b , J
b ) ou (H
c , J
c )).
Donc la trajectoire brisée vers laquelle converge la suite n est composée
de solutions de l’équation de Floer constantes en s et d’au plus une trajectoire associée à Γ
(pour la suite s n = −ρ n ) d’une associée à Γ
(pour
s n = ρ n ). Toujours grâce à la proposition 11.5.6, si
u = lim
s→+∞
n (s − ρ n , t) et v = lim
n→+∞
n (s + ρ n , t),
alors
u ∈ M
Γ
(x
, y
) et v ∈ M
Γ
(y
, z
)
pour
x ∈ Crit A H a , y
, y
∈ Crit A H b , z
∈ Crit A H c .
Nous voulons montrer que x
= x, y
= y
et z
= z.