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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
– si lim n→+∞ (s n + ρ n ) = +∞ et lim n→+∞ (s n − ρ n ) = −∞ (autrement
dit si −ρ n s n ρ n , en analysant séparément les cas où (s n ) tend vers
−∞, est convergente ou tend vers +∞, on trouve
lim
n→+∞
(H n , J n ) = (H
b , J
b ),
– si lim(s n − ρ n ) = +∞, c’est-à-dire si s n ρ n , on a
lim
n→+∞
(H n , J n ) = (H
c , J
c ).
Nous avons ainsi démontré le point (2), passons maintenant au point (1). On
reproduit tout d’abord la démonstration de la proposition 6.6.2 (borne sur le
gradient dans la démonstration du théorème de compacité) pour démontrer
qu’il existe une constante A > 0 telle que
∀ ρ, ∀ ∈ M
Γρ (x, z), ∀ (s, t) ∈ R × S
1 , grad (s,t) ≤ A
(ici, ·· désigne n’importe quelle norme sur T W — elles sont toutes équivalentes puisque W est compacte — par exemple celle venant de R
m ).
Si une telle constante n’existait pas, on obtiendrait, comme dans la
démonstration de la proposition 6.6.2, une courbe J-holomorphe v, ce qui
conduirait à une contradiction comme dans le lemme 6.6.4. La structure J
dont il est question ici est la limite (pour la topologie C
∞
loc ) d’une suite J ρn ,
elle est donc, soit égale à J ρ pour un ρ > 0 (et dans ce cas dépend de s),
soit égale à J
b . L’inégalité ci-dessus est donc satisfaite par n pour tout n et
également par les éléments de la suite ( n (s + s n , t)). Ces derniers forment
une famille continue, ce qui permet d’appliquer le théorème d’Ascoli et de
trouver une une sous-suite qui converge pour la topologie C
∞
loc vers une
limite .
Le point (2) montre alors qu’il existe une constante s ∈ R telle que
(s+s ) soit solution, au sens faible, d’une des équations de Floer énumérées
dans l’énoncé de la proposition. La régularité elliptique (le lemme 12.1.1)
implique alors que est de classe C
∞ et que la convergence de n (s + s n , t)
vers a bien lieu au sens C
∞
loc .
La démonstration de la proposition 11.5.6 est ainsi terminée.
Pour finir de démontrer la proposition 11.5.5, nous utiliserons un argument de convergence vers une orbite brisée analogue à celui qui nous
a déjà servi au § 9.1.c. Plus précisément, une démonstration analogue à
celle du théorème 9.1.6 donne l’existence de suites (s
k
n ) pour 0 ≤ k ≤ m,
telles que — à extraction près d’une sous-suite — pour tout k, la suite
n (s + s
k
n , t) converge vers une limite ∈ C
∞ (x k , x k+1 ) où x 0 = x et
x m+1 = z. L’énoncé (2) de la proposition 11.5.6 montre que, quitte à changer les suites (s
k
n ) n en leur ajoutant des constantes, les limites
k sont des
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
– si lim n→+∞ (s n + ρ n ) = +∞ et lim n→+∞ (s n − ρ n ) = −∞ (autrement
dit si −ρ n s n ρ n , en analysant séparément les cas où (s n ) tend vers
−∞, est convergente ou tend vers +∞, on trouve
lim
n→+∞
(H n , J n ) = (H
b , J
b ),
– si lim(s n − ρ n ) = +∞, c’est-à-dire si s n ρ n , on a
lim
n→+∞
(H n , J n ) = (H
c , J
c ).
Nous avons ainsi démontré le point (2), passons maintenant au point (1). On
reproduit tout d’abord la démonstration de la proposition 6.6.2 (borne sur le
gradient dans la démonstration du théorème de compacité) pour démontrer
qu’il existe une constante A > 0 telle que
∀ ρ, ∀ ∈ M
Γρ (x, z), ∀ (s, t) ∈ R × S
1 , grad (s,t) ≤ A
(ici, ·· désigne n’importe quelle norme sur T W — elles sont toutes équivalentes puisque W est compacte — par exemple celle venant de R
m ).
Si une telle constante n’existait pas, on obtiendrait, comme dans la
démonstration de la proposition 6.6.2, une courbe J-holomorphe v, ce qui
conduirait à une contradiction comme dans le lemme 6.6.4. La structure J
dont il est question ici est la limite (pour la topologie C
∞
loc ) d’une suite J ρn ,
elle est donc, soit égale à J ρ pour un ρ > 0 (et dans ce cas dépend de s),
soit égale à J
b . L’inégalité ci-dessus est donc satisfaite par n pour tout n et
également par les éléments de la suite ( n (s + s n , t)). Ces derniers forment
une famille continue, ce qui permet d’appliquer le théorème d’Ascoli et de
trouver une une sous-suite qui converge pour la topologie C
∞
loc vers une
limite .
Le point (2) montre alors qu’il existe une constante s ∈ R telle que
(s+s ) soit solution, au sens faible, d’une des équations de Floer énumérées
dans l’énoncé de la proposition. La régularité elliptique (le lemme 12.1.1)
implique alors que est de classe C
∞ et que la convergence de n (s + s n , t)
vers a bien lieu au sens C
∞
loc .
La démonstration de la proposition 11.5.6 est ainsi terminée.
Pour finir de démontrer la proposition 11.5.5, nous utiliserons un argument de convergence vers une orbite brisée analogue à celui qui nous
a déjà servi au § 9.1.c. Plus précisément, une démonstration analogue à
celle du théorème 9.1.6 donne l’existence de suites (s
k
n ) pour 0 ≤ k ≤ m,
telles que — à extraction près d’une sous-suite — pour tout k, la suite
n (s + s
k
n , t) converge vers une limite ∈ C
∞ (x k , x k+1 ) où x 0 = x et
x m+1 = z. L’énoncé (2) de la proposition 11.5.6 montre que, quitte à changer les suites (s
k
n ) n en leur ajoutant des constantes, les limites
k sont des