11.5. FIN DE LA PREUVE DE L’INVARIANCE
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Proposition 11.5.5. Il existe y ∈ Crit A H b , avec μ(y) = μ(x) et
(u, v) ∈ M
Γ
(x, y) × M
Γ
(y, z)
tels que, à extraction près d’une sous-suite,
lim
n→+∞
n (s − ρ n , t) = u(s, t) et
lim
n→+∞
n (s + ρ n , t) = v(s, t)
pour la topologie C
∞
loc .
Pour la démonstration, nous avons besoin du résultat :
Proposition 11.5.6.
(1) Soit (s n ) une suite de nombres réels. Alors la suite n (s+s n , t) admet
une sous-suite convergente dans la topologie C
∞
loc .
(2) Soit la limite d’une telle sous-suite. Il existe une constante s telle
que (s + s , t) soit solution de l’équation de Floer correspondant à l’un des
couples (H
a , J
a ), (H
, J
), (H
b , J
b ), (H
, J
), (H
c , J
c ).
Démonstration de la proposition 11.5.6. Démontrons d’abord le point (2),
en supposant le point (1) démontré. L’application (s, t) → n (s + s n , t) est
solution de l’équation de Floer correspondant au couple
(H n , J n ) = (H ρn (s + s n , t, p), J ρn (s + s n , p)).
Rappelons que, par définition, H n et J n sont donnés par :
H n (s, t, p) =
H
(s + ρ n + s n , t, p) si s ≤ −s n
H
(s − ρ n + s n , t, p) si s ≥ −s n
J n (s, p) =
J
(s + ρ n + s n , p) si s ≤ −s n
J
(s − ρ n + s n , p) si s ≥ −s n .
Analysons les différentes limites possibles (pour la topologie C
∞
loc ) de
(H n , J n ) en fonction du comportement de la suite (s n ).
Dans la cas particulier où s n = −ρ n , il est évident que (H n , J n ) tend vers
(H
, J
). De même, lorsque s n = ρ n , (H n , J n ) tend vers (H
, J
). La limite
sera donc une solution de l’équation de Floer correspondant à Γ
= (H
, J
)
dans le premier cas et à Γ
= (H
, J
) dans le deuxième.
Comme l’énoncé de (2) permet d’ajouter une suite convergente à (s n ), il
reste à analyser les cas où les suites (s n ± ρ n ) sont divergentes :
– si lim(s n + ρ n ) = −∞, c’est-à-dire si s n −ρ n , on obtient facilement
lim
n→+∞
(H n , J n ) = (H
a , J
a ),