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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
On obtient ainsi un γ ρ ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) tel que
ϕ(ρ) = exp wρ γ ρ ∈ M
Γρ (x, z).
On peut donc définir χ ρ (u, v) = ϕ(ρ). Et l’on obtient, comme dans le
lemme 9.4.13,
lim
ρ→+∞
γ ρ W 1,p = 0.
Ce qui implique, exactement comme au § 9.4 :
Proposition 11.5.4. L’élément ϕ(ρ) vérifie
lim
ρ→+∞
ϕ(ρ)(s − ρ, t) = u(s, t),
lim
ρ→+∞
ϕ(ρ)(s + ρ, t) = v(s, t)
dans C
∞
loc .
11.5.b. Injectivité de χ. Supposons que χ ne soit pas injective, c’està-dire qu’il existe des ρ arbitrairement grands pour lesquels χ ρ n’est pas
injective. Soient donc trois suites ρ n , (u n , v n ), avec
(u n , v n ) et (u
n , v
n ) ∈
y∈Crit(A H b )
μ(y)=μ(x)
M
Γ
(x, y) × M
Γ
(y, z)
lim
n→+∞
ρ n = +∞, (u n , v n ) = (u
n , v
n ), χ ρn (u n , v n ) = χ ρn (u
n , v
n ).
et
Les suites (u n , v n ) et (u
n , v
n ) prennent leurs valeurs dans un ensemble fini,
on peut donc supposer, quitte à en extraire des sous-suites, qu’elles sont
constantes, égales disons à (u, v), respectivement (u
, v
), avec
(u, v) = (u
, v
) et χ ρn (u, v) = χ ρn (u
, v
).
En utilisant la proposition 11.5.4, on obtient
u(s, t) = lim
n→+∞
(χ ρn (u, v))(s − ρ n , t)
= lim
n→+∞
(χ ρn (u
, v
))(s − ρ n , t)
= u
(s, t)
et de même v(s, t) = v
(s, t). D’où l’injectivité de χ ρ .
11.5.c. La surjectivité de χ. Supposons (toujours en raisonnant par
l’absurde) que, pour des valeurs arbitrairement grandes de ρ, χ ρ ne soit
pas surjective. Considérons une suite (ρ n ) tendant vers l’infini et une suite
d’éléments n ∈ M
Γρ n (x, z) telle que n /
∈ Im(χ ρn ) (pour tout n). Nous
démontrons la proposition suivante.