11.5. FIN DE LA PREUVE DE L’INVARIANCE
401
propriété d’unicité du recollement (comme celle du § 9.6) pour montrer que
n ∈ Im χ n pour n grand et aboutir à une contradiction.
Voici maintenant les détails de cette démonstration.
11.5.a. Définition de χ. Soit y ∈ Crit A H b tel que μ(y) = μ(x). Considérons un couple (u, v) ∈ M
Γ
(x, y) × M
Γ
(y, z). Le pré-recollement w ρ
de u et v est défini par la même formule qu’au § 9.3. Comme w ρ (s, t) =
u(s + ρ, t) pour s ≤ −1 et w ρ (s, t) = v(s − ρ, t) pour s ≥ 1, la définition de
Γ ρ = (H ρ , J ρ ) implique que
∂w ρ
∂s
+ J ρ
∂w ρ
∂t
+ grad wρ H ρ
(s, t) = 0 pour |s| ≥ 1.
Cette expression tend vers 0 lorsque ρ tend vers +∞ en norme C
∞
loc (et dont
aussi en norme L
p ). En effet,
lim
ρ→+∞
w ρ (s, t) = y(t) et
lim
ρ→+∞
(H ρ , J ρ ) = (H
b , J
b )
(en norme C
∞
loc dans les deux cas).
La solution ϕ(ρ) ∈ M
Γρ (x, z) sera obtenue à partir de la solution approchée w ρ par une formule du type
ϕ(ρ) = exp wρ (γ ρ ).
C’est donc un zéro de
Y
F ρ
− −− →
∂
∂s
+ J ρ
∂
∂t
+ grad H ρ
(exp wρ Y ).
À l’aide de repères (Z
ρ
i ) construits (à la source et au but de F ρ ) exactement
comme au § 9.4, on peut considérer F ρ comme une application
F ρ : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
L’opérateur linéarisé L ρ = (dF ρ ) 0 est de la forme
Y −→
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S ρ · Y,
où S ρ est une application de R × S
1 dans M 2n (R). C’est un opérateur de
Fredholm d’indice 0 puisque μ(x) = μ(z).
L’analogue de la proposition 11.2.1, qui se démontre de façon identique,
implique alors que L ρ est bijective, avec un inverse
G ρ : L
p (R × S
1 ; R
2n ) −→ W
1,p (R × S
1 ; R
2n )
dont la norme est bornée par une constante indépendante de ρ. Les conditions d’application de la méthode de Newton-Picard (lemme 9.4.4) sont
réunies ; l’estimation analogue à celle contenue dans le lemme 9.4.8, qui
permet de vérifier l’hypothèse (2) de 9.4.4, se démontre elle aussi de façon
identique.
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propriété d’unicité du recollement (comme celle du § 9.6) pour montrer que
n ∈ Im χ n pour n grand et aboutir à une contradiction.
Voici maintenant les détails de cette démonstration.
11.5.a. Définition de χ. Soit y ∈ Crit A H b tel que μ(y) = μ(x). Considérons un couple (u, v) ∈ M
Γ
(x, y) × M
Γ
(y, z). Le pré-recollement w ρ
de u et v est défini par la même formule qu’au § 9.3. Comme w ρ (s, t) =
u(s + ρ, t) pour s ≤ −1 et w ρ (s, t) = v(s − ρ, t) pour s ≥ 1, la définition de
Γ ρ = (H ρ , J ρ ) implique que
∂w ρ
∂s
+ J ρ
∂w ρ
∂t
+ grad wρ H ρ
(s, t) = 0 pour |s| ≥ 1.
Cette expression tend vers 0 lorsque ρ tend vers +∞ en norme C
∞
loc (et dont
aussi en norme L
p ). En effet,
lim
ρ→+∞
w ρ (s, t) = y(t) et
lim
ρ→+∞
(H ρ , J ρ ) = (H
b , J
b )
(en norme C
∞
loc dans les deux cas).
La solution ϕ(ρ) ∈ M
Γρ (x, z) sera obtenue à partir de la solution approchée w ρ par une formule du type
ϕ(ρ) = exp wρ (γ ρ ).
C’est donc un zéro de
Y
F ρ
− −− →
∂
∂s
+ J ρ
∂
∂t
+ grad H ρ
(exp wρ Y ).
À l’aide de repères (Z
ρ
i ) construits (à la source et au but de F ρ ) exactement
comme au § 9.4, on peut considérer F ρ comme une application
F ρ : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
L’opérateur linéarisé L ρ = (dF ρ ) 0 est de la forme
Y −→
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S ρ · Y,
où S ρ est une application de R × S
1 dans M 2n (R). C’est un opérateur de
Fredholm d’indice 0 puisque μ(x) = μ(z).
L’analogue de la proposition 11.2.1, qui se démontre de façon identique,
implique alors que L ρ est bijective, avec un inverse
G ρ : L
p (R × S
1 ; R
2n ) −→ W
1,p (R × S
1 ; R
2n )
dont la norme est bornée par une constante indépendante de ρ. Les conditions d’application de la méthode de Newton-Picard (lemme 9.4.4) sont
réunies ; l’estimation analogue à celle contenue dans le lemme 9.4.8, qui
permet de vérifier l’hypothèse (2) de 9.4.4, se démontre elle aussi de façon
identique.