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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Ici, comme au § 11.1, n
Γ
(x, y) et n
Γ
(y, z) sont les nombres (modulo 2)
d’éléments dans M
Γ
(x, y), M
Γ
(y, z) respectivement. Il est bien clair que
la proposition 11.5.2 découle de la suivante.
Proposition 11.5.3. Soient x ∈ Crit(A H a ) et z ∈ Crit(A H c ) tels que μ(x) =
μ(z). Pour tout ρ assez grand, les ensembles
y∈Crit(A H b )
μ(y)=μ(x)
M
Γ
(x, y) × M
Γ
(y, z) et M
Γρ (x, z)
sont en bijection.
Nous allons donc maintenant démontrer la proposition 11.5.3. Voici les
idées de la démonstration. Elle revient (et ce n’est pas surprenant) à
(1) définir, pour ρ assez grand, une application
χ ρ :
y∈Crit(A H b )
μ(y)=μ(x)
M
Γ
(x, y) × M
Γ
(y, z) −→ M
Γρ (x, z),
(2) montrer qu’elle est injective pour ρ assez grand,
(3) montrer qu’elle est surjective pour ρ assez grand.
Pour définir χ ρ (u, v) pour un couple (u, v) ∈ M
Γ
(x, y) × M
Γ
(y, z), on
utilise un procédé de recollement, comme aux § § 9.4 et 11.3.d : à partir
d’un pré-recollement w ρ = u# ρ v, on fabrique une solution ϕ(ρ) ∈ M
Γρ par
la méthode de Newton-Picard.
Comme pour les autres solutions de Floer obtenues par cette méthode,
on obtiendra que ϕ ρ tend vers (u, v) (au sens de la convergence vers les
orbites brisées) quand ρ tend vers l’infini. Voir le § 11.1.c.
Pour démontrer l’injectivité de ϕ, nous procédons par réduction à
l’absurde. S’il n’est pas vrai que χ ρ est injective à partir d’une certaine
valeur de ρ, il existe une suite ρ n tendant vers l’infini et des couples
(u n , v n ) = (u
n , v
n ) tels que χ ρn (u n , v n ) = χ ρn (u
n , v
n ). Comme les suites
(u n , v n ) prennent leurs valeurs dans un ensemble fini, en en extrayant si
nécessaire des sous-suites, on peut supposer qu’elles sont constantes, disons
égales à (u, v) et (u
, v
). En faisant tendre n vers l’infini dans l’égalité
χ ρn (u, v) = χ ρn (u
, v
),
on trouve que (u, v) = (u
, v
), une contradiction.
Pour la surjectivité de χ ρ , le raisonnement est du même type. Si, pour une
suite ρ n tendant vers l’infini, il existe n qui n’est pas dans l’image de χ ρn ,
on montre d’abord que lim n = (u, v) pour un certain couple (u, v) ∈
M
Γ
(x, y) × M
Γ
(y, z) (y ∈ Crit A H b , μ(y) = μ(x)). Puis on applique une
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Ici, comme au § 11.1, n
Γ
(x, y) et n
Γ
(y, z) sont les nombres (modulo 2)
d’éléments dans M
Γ
(x, y), M
Γ
(y, z) respectivement. Il est bien clair que
la proposition 11.5.2 découle de la suivante.
Proposition 11.5.3. Soient x ∈ Crit(A H a ) et z ∈ Crit(A H c ) tels que μ(x) =
μ(z). Pour tout ρ assez grand, les ensembles
y∈Crit(A H b )
μ(y)=μ(x)
M
Γ
(x, y) × M
Γ
(y, z) et M
Γρ (x, z)
sont en bijection.
Nous allons donc maintenant démontrer la proposition 11.5.3. Voici les
idées de la démonstration. Elle revient (et ce n’est pas surprenant) à
(1) définir, pour ρ assez grand, une application
χ ρ :
y∈Crit(A H b )
μ(y)=μ(x)
M
Γ
(x, y) × M
Γ
(y, z) −→ M
Γρ (x, z),
(2) montrer qu’elle est injective pour ρ assez grand,
(3) montrer qu’elle est surjective pour ρ assez grand.
Pour définir χ ρ (u, v) pour un couple (u, v) ∈ M
Γ
(x, y) × M
Γ
(y, z), on
utilise un procédé de recollement, comme aux § § 9.4 et 11.3.d : à partir
d’un pré-recollement w ρ = u# ρ v, on fabrique une solution ϕ(ρ) ∈ M
Γρ par
la méthode de Newton-Picard.
Comme pour les autres solutions de Floer obtenues par cette méthode,
on obtiendra que ϕ ρ tend vers (u, v) (au sens de la convergence vers les
orbites brisées) quand ρ tend vers l’infini. Voir le § 11.1.c.
Pour démontrer l’injectivité de ϕ, nous procédons par réduction à
l’absurde. S’il n’est pas vrai que χ ρ est injective à partir d’une certaine
valeur de ρ, il existe une suite ρ n tendant vers l’infini et des couples
(u n , v n ) = (u
n , v
n ) tels que χ ρn (u n , v n ) = χ ρn (u
n , v
n ). Comme les suites
(u n , v n ) prennent leurs valeurs dans un ensemble fini, en en extrayant si
nécessaire des sous-suites, on peut supposer qu’elles sont constantes, disons
égales à (u, v) et (u
, v
). En faisant tendre n vers l’infini dans l’égalité
χ ρn (u, v) = χ ρn (u
, v
),
on trouve que (u, v) = (u
, v
), une contradiction.
Pour la surjectivité de χ ρ , le raisonnement est du même type. Si, pour une
suite ρ n tendant vers l’infini, il existe n qui n’est pas dans l’image de χ ρn ,
on montre d’abord que lim n = (u, v) pour un certain couple (u, v) ∈
M
Γ
(x, y) × M
Γ
(y, z) (y ∈ Crit A H b , μ(y) = μ(x)). Puis on applique une