11.5. FIN DE LA PREUVE DE L’INVARIANCE
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Notons que, par la proposition 11.2.8, les perturbations de Γ
, Γ
du
lemme 11.5.1 définissent les mêmes morphismes que Φ
Γ
et Φ
Γ
respectivement au niveau de l’homologie. Nous garderons donc la même notation
Γ
, Γ
pour ces homotopies.
La proposition 11.2.9 est évidemment une conséquence de :
Proposition 11.5.2. Il existe ρ tel que Γ ρ soit régulière et tel que les morphismes de complexes Φ
Γ
◦ Φ
Γ
et Φ
Γρ coïncident.
Démonstration du lemme 11.5.1. Considérons l’espace C
∞
ε défini au § 11.1.b.
Notons C
∞
ε,0 le sous-espace formé des fonctions
h : R × S
1
× W −→ R
telles que h(s, t, p) = 0 pour |s| < δ, δ étant un nombre positif quelconque.
Fixons un ρ 1 assez grand pour que Γ ρ1 soit définie. À une fonction h ∈ C
∞
ε,0
sont associées deux fonctions h
et h
∈ C
∞
ε , définies par les formules
h
(s, t, p) =
h(s − ρ 1 , t, p) si s ≤ ρ 1
0
s is ≥ ρ 1
h
(s, t, p) =
0
s is ≤ −ρ 1
h(s + ρ 1 , t, p) si s ≥ −ρ 1
de sorte que l’homotopie Γ ρ1 définie par (H
+ h
, J
) et (H
+ h
, J
) est
exactement (H ρ1 +h, J ρ1 ). Ce qui fait que, pour rendre Γ ρ1 régulière, il suffit
de refaire la démonstration de la transversalité du § 11.1.b pour l’espace de
perturbations (plus petit) qu’est C
∞
ε,0 . La seule petite modification apparaît
dans la démonstration du lemme (analogue à) 11.1.9. Si le champ Z n’est
pas nul, alors il existe un point (s 0 , t 0 ) ∈ (R−{0)}×S
1 tel que Z(s 0 , t 0 ) = 0.
Le reste de la démonstration est identique.
On peut ensuite refaire cette démonstration pour un ρ 2 > ρ 1 , en choisissant des perturbations h
et h
assez petites pour que Γ ρ1 reste régulière,
alors Γ ρ1 et Γ ρ2 seront régulières. De façon analogue, on construit ainsi une
suite ρ n tendant vers l’infini et telle que Γ ρn soit régulière pour tout n.
Démonstration de la proposition 11.5.2. Soit x ∈ Crit(A H a ). On a, avec les
notations du § 11.1.c,
Φ
Γ
◦ Φ
Γ
(x) = Φ
Γ
y∈Crit(A H b )
μ(y)=μ(x)
n
Γ
(x, y) · y
=
z∈Crit(A H c )
μ(z)=μ(x)
y∈Crit(A H b )
μ(y)=μ(x)
n
Γ
(x, y) n
Γ
(y, z) · z.