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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
À l’aide de ce lemme et de l’analogue du lemme 13.7.1 pour
F
Γλ , la
proposition 11.4.9 se démontre comme au § 11.2, en utilisant le fait que
lim λ n = λ .
La fin de la démonstration de la propriété d’unicité se fait en appliquant
les lemmes 9.6.16 et 9.6.17 à l’opérateur
F ρ : R × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
et en procédant exactement comme au § 11.2.c.
La démonstration du théorème 11.3.14 est ainsi terminée.
Ainsi que celle de la proposition 11.2.8.
11.5. Fin de la preuve de l’invariance de l’homologie de Floer :
démonstration de la proposition 11.2.9
Soient Γ
= (H
, J
) et Γ
= (H
, J
) deux homotopies régulières joignant (H
a , J
a ) à (H
b , J
b ) pour la première et (H
b , J
b ) à (H
c , J
c ) pour la
deuxième. Comme dans les sections précédentes de ce chapitre, ces homotopies sont choisies stationnaires pour |s| ≥ R, où R > 0 est une constante
qui n’est pas fixée une fois pour toutes (elle pourra augmenter au cours de
la démonstration).
La concaténation de Γ
et Γ
définit une homotopie Γ ρ = (H ρ , J ρ ) par
les formules
H ρ (s, t, p) =
H
(s + ρ, t, p) si s ≤ 0
H
(s − ρ, t, p) si s ≥ 0
J ρ (s, p) =
J
(s + ρ, p) si s ≤ 0
J
(s − ρ, p) si s ≥ 0.
L’homotopie Γ ρ est définie pour ρ assez grand (ρ > R) et elle joint (H
a , J
a )
à (H
c , J
c ). Elle est stationnaire pour |s| ≥ R + ρ. Remarquons qu’a priori,
elle pourrait ne pas être régulière. Nous démontrons :
Lemme 11.5.1. Après une petite perturbation de Γ
et Γ
(parmi les homotopies régulières), on pourra supposer que Γ ρ est régulière pour des valeurs
arbitrairement grandes de ρ.
Il existe donc une suite ρ n tendant vers l’infini et telle que Γ ρn est régulière pour tout n.
Pour ces valeurs de ρ, on pourra définir le morphisme de complexes
Φ
Γρ : CF (H
a , J
a ) −→ CF (H
c , J
c )
du § 11.1.
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
À l’aide de ce lemme et de l’analogue du lemme 13.7.1 pour
F
Γλ , la
proposition 11.4.9 se démontre comme au § 11.2, en utilisant le fait que
lim λ n = λ .
La fin de la démonstration de la propriété d’unicité se fait en appliquant
les lemmes 9.6.16 et 9.6.17 à l’opérateur
F ρ : R × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
et en procédant exactement comme au § 11.2.c.
La démonstration du théorème 11.3.14 est ainsi terminée.
Ainsi que celle de la proposition 11.2.8.
11.5. Fin de la preuve de l’invariance de l’homologie de Floer :
démonstration de la proposition 11.2.9
Soient Γ
= (H
, J
) et Γ
= (H
, J
) deux homotopies régulières joignant (H
a , J
a ) à (H
b , J
b ) pour la première et (H
b , J
b ) à (H
c , J
c ) pour la
deuxième. Comme dans les sections précédentes de ce chapitre, ces homotopies sont choisies stationnaires pour |s| ≥ R, où R > 0 est une constante
qui n’est pas fixée une fois pour toutes (elle pourra augmenter au cours de
la démonstration).
La concaténation de Γ
et Γ
définit une homotopie Γ ρ = (H ρ , J ρ ) par
les formules
H ρ (s, t, p) =
H
(s + ρ, t, p) si s ≤ 0
H
(s − ρ, t, p) si s ≥ 0
J ρ (s, p) =
J
(s + ρ, p) si s ≤ 0
J
(s − ρ, p) si s ≥ 0.
L’homotopie Γ ρ est définie pour ρ assez grand (ρ > R) et elle joint (H
a , J
a )
à (H
c , J
c ). Elle est stationnaire pour |s| ≥ R + ρ. Remarquons qu’a priori,
elle pourrait ne pas être régulière. Nous démontrons :
Lemme 11.5.1. Après une petite perturbation de Γ
et Γ
(parmi les homotopies régulières), on pourra supposer que Γ ρ est régulière pour des valeurs
arbitrairement grandes de ρ.
Il existe donc une suite ρ n tendant vers l’infini et telle que Γ ρn est régulière pour tout n.
Pour ces valeurs de ρ, on pourra définir le morphisme de complexes
Φ
Γρ : CF (H
a , J
a ) −→ CF (H
c , J
c )
du § 11.1.