11.4. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 11.3.14
397
Proposition 11.4.9. Le champ Y n est dans W
1,p (w
ρn T W ) et
lim
n→+∞
Y n W 1,p = 0.
La démonstration de la proposition 11.4.8 est en tous points analogue à
celle de la proposition 11.2.3. Elle utilise le fait que n est dans l’espace de
solutions M
Γλ n (x, z) pour une homotopie Γ λn = (H
λn
s,t , J
λn
s ) qui est stationnaire pour s ≤ −R et pour s ≥ R, ainsi que la convergence de n vers (u,
v)
(au sens du théorème 11.1.10), cette dernière découlant de la convergence
de [λ n , , n ] vers [λ , (u,
v)].
La démonstration de la proposition 11.4.9 se fait comme celle de la proposition 11.2.4, à ceci près que la formule de Taylor utilisée dans la démonstration (page 458) s’écrit dans ce nouveau contexte
F
Γλ (Y n ) =
F
Γλ (0) + (d
F
Γλ ) 0 (Y n ) + N(Y n ).
Le membre de gauche ne s’annule pas puisque
n = exp wρ n (Y n ) ∈ M
Γ λn (x, z)
(autrement dit nous avons l’égalité
F
Γλ n (Y n ) = 0, pour λ n et pas λ ). Pour
compléter la preuve, il faudra majorer comme suit :
Lemme 11.4.10. Il existe des constantes positives C et k, indépendantes de n,
telles que
F
Γλ (Y n )
L p ≤ C |λ n − λ | |Y n W 1,p + k |λ n − λ | .
Démonstration. Nous avons
F
Γ λ (Y n )
L p =
F
Γ λ (Y n ) −
F
Γ λn (Y n )
L p
≤ |λ n − λ |
sup
λ
∂
F
∂λ
(λ, Y n )
L p
= |λ n − λ |
sup
λ
V ρn (λ, Y n )
L p
.
Puis, en appliquant le lemme 13.8.1,
sup
λ
V ρn (λ, Y n )
L p ≤ C Y n W 1,p +
sup
λ
V ρn (λ, 0)
L p .
Comme, par définition,
V ρn (λ, 0) =
∂J
∂λ
(λ, s + ρ n )
∂w ρn
∂t
+
∂H
∂λ
(λ, s + ρ n , t),
V ρn (λ, 0) est borné en norme infinie. Son support est [−R − ρ n , R− ρ n ] × S
1 .
Il s’ensuit que
V ρn (λ, 0) L p ≤ k.
Et le lemme est démontré.
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Proposition 11.4.9. Le champ Y n est dans W
1,p (w
ρn T W ) et
lim
n→+∞
Y n W 1,p = 0.
La démonstration de la proposition 11.4.8 est en tous points analogue à
celle de la proposition 11.2.3. Elle utilise le fait que n est dans l’espace de
solutions M
Γλ n (x, z) pour une homotopie Γ λn = (H
λn
s,t , J
λn
s ) qui est stationnaire pour s ≤ −R et pour s ≥ R, ainsi que la convergence de n vers (u,
v)
(au sens du théorème 11.1.10), cette dernière découlant de la convergence
de [λ n , , n ] vers [λ , (u,
v)].
La démonstration de la proposition 11.4.9 se fait comme celle de la proposition 11.2.4, à ceci près que la formule de Taylor utilisée dans la démonstration (page 458) s’écrit dans ce nouveau contexte
F
Γλ (Y n ) =
F
Γλ (0) + (d
F
Γλ ) 0 (Y n ) + N(Y n ).
Le membre de gauche ne s’annule pas puisque
n = exp wρ n (Y n ) ∈ M
Γ λn (x, z)
(autrement dit nous avons l’égalité
F
Γλ n (Y n ) = 0, pour λ n et pas λ ). Pour
compléter la preuve, il faudra majorer comme suit :
Lemme 11.4.10. Il existe des constantes positives C et k, indépendantes de n,
telles que
F
Γλ (Y n )
L p ≤ C |λ n − λ | |Y n W 1,p + k |λ n − λ | .
Démonstration. Nous avons
F
Γ λ (Y n )
L p =
F
Γ λ (Y n ) −
F
Γ λn (Y n )
L p
≤ |λ n − λ |
sup
λ
∂
F
∂λ
(λ, Y n )
L p
= |λ n − λ |
sup
λ
V ρn (λ, Y n )
L p
.
Puis, en appliquant le lemme 13.8.1,
sup
λ
V ρn (λ, Y n )
L p ≤ C Y n W 1,p +
sup
λ
V ρn (λ, 0)
L p .
Comme, par définition,
V ρn (λ, 0) =
∂J
∂λ
(λ, s + ρ n )
∂w ρn
∂t
+
∂H
∂λ
(λ, s + ρ n , t),
V ρn (λ, 0) est borné en norme infinie. Son support est [−R − ρ n , R− ρ n ] × S
1 .
Il s’ensuit que
V ρn (λ, 0) L p ≤ k.
Et le lemme est démontré.