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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
La démonstration de ce lemme se trouve bien sûr, comme ses semblables,
au § 13.8.
En utilisant ce lemme 11.4.7 dans l’inégalité qui en précède l’énoncé, nous
obtenons
∂λ ρ
∂ρ
,
∂γ ρ
∂ρ
R×W 1,p
1 − k 1
(λ ρ , γ ρ )
R×W 1,p
≤ k 2 C
(λ ρ , γ ρ )
R×W 1,p +
∂F
∂ρ
(0, 0)
L p
.
Le dernier terme est
∂F
∂ρ
(0, 0)
L p
=
∂F
Γ λ
ρ
∂ρ
(w ρ )
Z
ρ
i
L p
et il tend vers 0 lorsque ρ tend vers +∞ exactement comme dans la démonstration de la proposition 9.4.15. Notre inégalité implique alors, en utilisant
le fait que lim ρ→+∞
(λ ρ , γ ρ )
R×W 1,p = 0, l’égalité
lim
ρ→+∞
∂λ ρ
∂ρ
,
∂γ ρ
∂ρ
R×W 1,p
= 0.
Et ceci achève la démonstration de la proposition 11.4.6.
Pour terminer de démontrer les propriétés de ψ, il reste à montrer que
c’est bien un plongement et, pour ce faire, il suffit de montrer que c’est une
immersion (d’après un argument déjà utilisé au 11.2.c). Mais, si ψ
ρ = 0,
alors, comme dans le § 11.2.c, nous devrons avoir
∂ϕ ρ
∂ρ
=
∂ϕ ρ
∂s
(puisque ψ ρ (s, t) = ϕ ρ (s − ρ, t)). La contradiction espérée suit par la méthode du § 9.5 (pour α n = 1), en utilisant la proposition 11.4.6.
Il reste à démontrer la dernière partie du théorème 11.3.14, l’« unicité »,
à savoir le fait qu’une suite [λ n , , n ] d’éléments de M
Γ (x, z) qui tend vers
[(λ , u),
v] a la propriété d’être contenue dans l’image de ψ pour n assez
grand.
Pour ce faire, nous avons besoin des résultats analogues à ceux contenus
dans les propositions 11.2.3 et 11.2.4 :
Proposition 11.4.8. Il existe une suite réelle (ρ n ) tendant vers +∞ et, pour
tout u, un vecteur Y n ∈ w
ρ n
T W tels que, pour tous (s, t) ∈ R × S
1 ,
n (s + ρ n , t) = exp wρ n (s,t) Y n (s, t).
De plus, lim n→+∞ Y n L ∞ = 0.