11.4. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 11.3.14
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dans la topologie C
∞
loc . Il s’ensuit que
lim
ρ→+∞
ψ(ρ) = [(λ , u),
v]
pour la convergence définie par le théorème 11.3.10.
Montrons maintenant que l’application ψ est (continue et) dérivable. Il
s’agit de démontrer ces propriétés pour l’application ρ → (λ ρ , γ ρ ) et ceci se
fait à l’aide du théorème des fonctions implicites, comme au § 9.4. Il faut
montrer que, pour ρ assez grand, l’opérateur (dF ρ ) (λρ,γρ) est inversible, ce
qui se fait exactement comme dans la démonstration du lemme 9.4.14, en
utilisant le lemme 11.4.5.
Montrons maintenant que ψ est un plongement. Nous aurons besoin du
résultat que nous énonçons ici, analogue de la proposition 9.4.15 et du théorème 11.2.2 (3).
Proposition 11.4.6.
lim
ρ→+∞
∂γ
∂ρ
W 1,p
= 0 et
lim
ρ→+∞
∂λ ρ
∂ρ
= 0.
Démonstration. Comme λ ρ = λ + λ ρ , la deuxième relation équivaut à
∂λ ρ /∂ρ = 0. Notons
F (ρ, λ, Y ) = F ρ (λ, Y )
de sorte que
F (ρ, λ ρ , γ ρ ) = 0.
Dérivons cette identité par rapport à ρ pour obtenir
∂F ρ
∂ρ
(λ ρ , γ ρ ) + (dF ρ ) (λρ,γρ)
∂λ ρ
∂ρ
,
∂γ ρ
∂ρ
= 0.
Cette relation implique, comme dans la démonstration de la proposition 9.4.15,
∂λ ρ
∂ρ
,
∂γ ρ
∂ ρ
R×W 1,p
≤ k 1
(λ ρ , γ ρ )
R×W 1,p
λ ρ
∂ρ
,
∂γ ρ
∂ρ
R×W 1,p
+ k 2
∂F ρ
∂ρ
(λ ρ , γ ρ )
L p
pour des constantes k 1 et k 2 positives et indépendantes de ρ. Nous utiliserons :
Lemme 11.4.7. Il existe une constante C > 0 indépendante de ρ telle que,
pour ρ ≥ ρ 0 , on ait
∂F ρ
∂ρ
(λ ρ , γ ρ ) −
∂F ρ
∂ρ
(0, 0)
L p
≤ C
(λ ρ , γ ρ )
R×W 1,p .