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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
L’hypothèse (2) se vérifie comme au § 9.4 (lorsque nous avons vérifié
l’hypothèse (2) du lemme page 293), en utilisant la proposition 11.4.2, à
cela près qu’il est nécessaire d’adapter le lemme 9.4.8 ainsi :
Lemme 11.4.5. Soit r 0 > 0. Il existe une constante K > 0 telle que, pour
tout ρ ≥ ρ 0 et pour tous (λ, Z) ∈ R × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) (avec Z ≤ r 0 ),
on ait
(dF ρ ) (λ,Z) − (dF ρ ) (0,0)
op ≤ K(Z W 1,p + |λ|).
La démonstration de cette version se trouve au § 13.8.
La méthode de Newton-Picard (le lemme 9.4.4) nous produit alors un
couple (λ ρ , γ ρ ) tel que
F ρ (λ ρ , γ ρ ) = 0,
ce qui, par définition de F ρ , équivaut à
F
Γ
ρ (λ ρ + λ , γ ρ ) = 0.
Ainsi, ϕ ρ = exp wρ γ ρ est solution de l’équation
F
Γλ ρ
ρ (·) = 0 (avec λ ρ = λ ρ + λ ).
Dans notre division en trois parties de la démonstration du théorème 11.3.14 (page 388), la construction de ce ϕ nous a amenés à la fin de
la deuxième partie. Nous posons
ψ ρ (s, t) = ϕ ρ (s − ρ, t)
et obtenons le fait que
∂ψ ρ
∂s
+ J
λρ
s
∂ψ ρ
∂t
+ grad ψρ H
λρ
s,t = 0,
c’est-à-dire que (λ ρ , ψ ρ ) ∈ M
Γ (x, z). Nous définissons
ψ : [ρ 0 , +∞[ −→ M
Γ (x, z)
ρ −→ (λ ρ , ψ ρ )
et il nous reste (troisième et dernière partie de la démonstration du théorème 11.3.14 d’après le plan établi page 388), à établir les propriétés désirées
de ψ.
11.4.c. Les propriétés de ψ. Comme dans le lemme 9.4.13, nous obtenons
lim
ρ→+∞
λ ρ = 0 et
lim
ρ→+∞
γ ρ W 1,p = 0.
La première égalité implique que lim ρ→+∞ λ ρ = λ . En utilisant la
deuxième, nous raisonnons comme aux § 9.4 et 11.2.c pour montrer que
lim
ρ→+∞
ϕ ρ (s − ρ, t) = u(s, t) et
lim
ρ→+∞
ϕ ρ (s + ρ, t) = v(s, t)