11.4. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 11.3.14
393
Par ailleurs la proposition 11.4.2 implique que
Ker L
Γ
ρ ∩ (R × W
⊥
ρ ) = {0} ,
donc dim Ker L
Γ
ρ ≤ 1 et donc, puisque L
Γ
ρ est d’indice 1, cet opérateur doit
être surjectif et son noyau de dimension 1. D’où nous déduisons
Ker L
Γ
ρ ⊕ (R × W
⊥
ρ ) = R × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ),
ce qui nous permet de définir l’inverse à droite G ρ , dont la proposition 11.4.2
implique qu’il est continu et de norme inférieure à une constante indépendante de ρ.
Nous appliquons maintenant la méthode de Newton-Picard, c’est-à-dire
le lemme 9.4.4, à l’opérateur
F ρ : R × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
défini par
F ρ (λ, Y ) = F
Γλ+λ
ρ
(Y ).
Notons d’une part que
F ρ (λ, Y ) =
⎧
⎨
⎩
F
Γ0
ρ (Y ) si λ + λ < 0
F
Γ1
ρ (Y ) si λ + λ > 1,
et d’autre part que notre opérateur L
Γ
ρ est exactement la différentielle en 0
de F ρ (raison pour laquelle nous avons modifié F
Γ
ρ par la translation de λ ).
Vérifions maintenant que les hypothèses du lemme 9.4.4 sont satisfaites.
L’hypothèse (1) est exactement la conclusion du corollaire 11.4.4.
Vérifions l’hypothèse (3). Avec la constante C donnée par la proposition 11.4.2, nous avons d’abord
G ρ (F ρ (0, 0))
W 1,p ≤ C
−1
F ρ (0, 0)
L p ,
puis
F ρ (0, 0)
L p =
F
Γλ
ρ
(0)
L p =
(F
Γλ
ρ (w ρ )) (Z
ρ
i
)
L p ,
où F
Γ λ
ρ
est l’opérateur de Floer
F
Γλ
ρ
=
∂
∂s
+ J
Γλ
s+ρ
∂
∂t
+ grad H
λ
s+ρ,t .
Or F
Γ λ
ρ (w ρ )(s, t) = 0 pour |s| ≥ 1 et F
Γ λ
ρ (w ρ ) tend vers 0 uniformément
sur [−1, 1] × S
1 , ce qui implique que
lim
ρ→0
F
Γ λ
ρ
(w ρ )
L p = 0 et donc que lim
ρ→0
F ρ (0, 0)
L p = 0.
Et ceci implique que l’hypothèse (3) du lemme 9.4.4 est satisfaite.
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Par ailleurs la proposition 11.4.2 implique que
Ker L
Γ
ρ ∩ (R × W
⊥
ρ ) = {0} ,
donc dim Ker L
Γ
ρ ≤ 1 et donc, puisque L
Γ
ρ est d’indice 1, cet opérateur doit
être surjectif et son noyau de dimension 1. D’où nous déduisons
Ker L
Γ
ρ ⊕ (R × W
⊥
ρ ) = R × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ),
ce qui nous permet de définir l’inverse à droite G ρ , dont la proposition 11.4.2
implique qu’il est continu et de norme inférieure à une constante indépendante de ρ.
Nous appliquons maintenant la méthode de Newton-Picard, c’est-à-dire
le lemme 9.4.4, à l’opérateur
F ρ : R × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
défini par
F ρ (λ, Y ) = F
Γλ+λ
ρ
(Y ).
Notons d’une part que
F ρ (λ, Y ) =
⎧
⎨
⎩
F
Γ0
ρ (Y ) si λ + λ < 0
F
Γ1
ρ (Y ) si λ + λ > 1,
et d’autre part que notre opérateur L
Γ
ρ est exactement la différentielle en 0
de F ρ (raison pour laquelle nous avons modifié F
Γ
ρ par la translation de λ ).
Vérifions maintenant que les hypothèses du lemme 9.4.4 sont satisfaites.
L’hypothèse (1) est exactement la conclusion du corollaire 11.4.4.
Vérifions l’hypothèse (3). Avec la constante C donnée par la proposition 11.4.2, nous avons d’abord
G ρ (F ρ (0, 0))
W 1,p ≤ C
−1
F ρ (0, 0)
L p ,
puis
F ρ (0, 0)
L p =
F
Γλ
ρ
(0)
L p =
(F
Γλ
ρ (w ρ )) (Z
ρ
i
)
L p ,
où F
Γ λ
ρ
est l’opérateur de Floer
F
Γλ
ρ
=
∂
∂s
+ J
Γλ
s+ρ
∂
∂t
+ grad H
λ
s+ρ,t .
Or F
Γ λ
ρ (w ρ )(s, t) = 0 pour |s| ≥ 1 et F
Γ λ
ρ (w ρ ) tend vers 0 uniformément
sur [−1, 1] × S
1 , ce qui implique que
lim
ρ→0
F
Γ λ
ρ
(w ρ )
L p = 0 et donc que lim
ρ→0
F ρ (0, 0)
L p = 0.
Et ceci implique que l’hypothèse (3) du lemme 9.4.4 est satisfaite.