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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Lemme 11.4.3. Pour tout compact K de R × S
1 , on a
lim
n→+∞
Y n W 1,p (K) = 0.
Ensuite, en suivant à son tour la démonstration du lemme 9.4.10, considérons la fonction réelle β
− utilisée pour fabriquer le pré-recollement w ρ :
elle est à support dans ] − ∞, 0] et vaut 1 sur ] − ∞, −1]. Nous utilisons,
comme pour le lemme 9.4.10,
L
Γ
ρ n (a n , β
− (s + 1)Y n (s, t))
L p
=
˙
β
− Y n (s + 1, t) + β
− (s + 1)L
Γ
ρ n
(a n , Y n (s, t))
L p
≤ (sup ˙
β
− ) Y n L p ([−1,1]×S 1 ) +
L
Γ
ρ n
(a n , Y n )
L p ,
de sorte que
lim
n→+∞
L
Γ
ρ n
(a n , β
− (s + 1)Y n (s, t))
L p = 0,
ce qui équivaut à
lim
n→+∞
Y
u(s+ρn,t) (a n , β
− (s + 1)Y n (s, t)) L p = 0
c’est-à-dire à
lim
n→+∞
Y
u (a n , β
− (s − ρ n + 1)Y n (s − ρ n , t))
L p = 0.
Mais, nous l’avons dit, Y
u est un opérateur de Fredholm bijectif. Autrement
dit,
– d’abord lim a n = 0 (ce qui implique que
lim
n→+∞
Y n W 1,p = 1
puisque la somme des deux vaut 1)
– et, dans W
1,p (R × S
1 ; R
2n ),
lim
n→+∞
β
− (s − ρ n + 1)Y n (s − ρ n , t) = 0,
ce qui est la première partie du résultat du lemme 9.4.10.
Obtenir la deuxième partie de ce résultat et la fin de la preuve de la proposition 11.4.2 se fait comme au § 9.4.
Corollaire 11.4.4. Pour ρ ≥ ρ 0 , L
Γ
ρ est surjective et admet un inverse à
droite
G ρ : L
p (R × S
1 ; R
2n ) −→ R × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ).
Démonstration. Nous avons vu que la dimension de W ρ est 1 et il est clair
que
W ρ ⊕ W
⊥
ρ = W
1,p (R × S
1 ; R
2n ).
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Lemme 11.4.3. Pour tout compact K de R × S
1 , on a
lim
n→+∞
Y n W 1,p (K) = 0.
Ensuite, en suivant à son tour la démonstration du lemme 9.4.10, considérons la fonction réelle β
− utilisée pour fabriquer le pré-recollement w ρ :
elle est à support dans ] − ∞, 0] et vaut 1 sur ] − ∞, −1]. Nous utilisons,
comme pour le lemme 9.4.10,
L
Γ
ρ n (a n , β
− (s + 1)Y n (s, t))
L p
=
˙
β
− Y n (s + 1, t) + β
− (s + 1)L
Γ
ρ n
(a n , Y n (s, t))
L p
≤ (sup ˙
β
− ) Y n L p ([−1,1]×S 1 ) +
L
Γ
ρ n
(a n , Y n )
L p ,
de sorte que
lim
n→+∞
L
Γ
ρ n
(a n , β
− (s + 1)Y n (s, t))
L p = 0,
ce qui équivaut à
lim
n→+∞
Y
u(s+ρn,t) (a n , β
− (s + 1)Y n (s, t)) L p = 0
c’est-à-dire à
lim
n→+∞
Y
u (a n , β
− (s − ρ n + 1)Y n (s − ρ n , t))
L p = 0.
Mais, nous l’avons dit, Y
u est un opérateur de Fredholm bijectif. Autrement
dit,
– d’abord lim a n = 0 (ce qui implique que
lim
n→+∞
Y n W 1,p = 1
puisque la somme des deux vaut 1)
– et, dans W
1,p (R × S
1 ; R
2n ),
lim
n→+∞
β
− (s − ρ n + 1)Y n (s − ρ n , t) = 0,
ce qui est la première partie du résultat du lemme 9.4.10.
Obtenir la deuxième partie de ce résultat et la fin de la preuve de la proposition 11.4.2 se fait comme au § 9.4.
Corollaire 11.4.4. Pour ρ ≥ ρ 0 , L
Γ
ρ est surjective et admet un inverse à
droite
G ρ : L
p (R × S
1 ; R
2n ) −→ R × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ).
Démonstration. Nous avons vu que la dimension de W ρ est 1 et il est clair
que
W ρ ⊕ W
⊥
ρ = W
1,p (R × S
1 ; R
2n ).