11.4. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 11.3.14
391
D’autre part, l’homotopie (H
b , J
b ) est également régulière, donc L
v est
surjectif, donc son noyau est de dimension 1 et nous avons
Ker L
v =
α
∂v
∂s
(Z v
i
)
| α ∈ R
.
Suivant toujours le 11.2.b, définissons, pour ρ ≥ ρ 0 , les espaces
W ρ = {0# ρ β | β ∈ Ker L
v
}
W
⊥
ρ =
Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) |
R×S 1
Y, Z = 0 pour tout Z ∈ W ρ
.
et
Ici nous avons considéré que W ρ ⊂ L
q (R × S
1 ; R
2n ) (avec 1/p + 1/q = 1),
à l’aide du repère (Z
ρ
i ) et de la décroissance exponentielle (du § 8.9 et plus
précisément de la remarque 8.9.3), comme au § 9.4.
Afin d’appliquer la méthode de Newton-Picard (le lemme 9.4.4) nous
devons définir un inverse à droite pour l’opérateur L
Γ
ρ . Pour ce faire, nous
avons besoin de l’analogue de la proposition 9.4.7 que voici :
Proposition 11.4.2. Il existe un ρ 0 > 0 et une constante C > 0 telle que,
pour ρ ≥ ρ 0 ,
∀ Y ∈ W
⊥
ρ , ∀ a ∈ R,
L
Γ
ρ (a, Y )
L p ≥ C (Y W 1,p + |a|) .
Sur la signification de ρ ≥ ρ 0 , nous maintenons la convention de la
page 283 (autrement dit, il n’est pas nécessaire de préciser ρ 0 ).
Démonstration. Supposons le contraire (comme au début de la démonstration de la proposition 9.4.7). Il existe alors des suites ρ n → +∞ et
(a n , Y n ) ∈ R × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) tels que
|a n | + Y n W 1,p = 1 et
lim
n→+∞
L
Γ
ρ n
(a n , Y n )
L p = 0.
Posons r n = ρ n /2. Nous avons
V ρn (s, t) = 0 pour (s, t) ∈ [−r n , r n ] × S
1 et n assez grand
(en général, nous avons vu que V ρ (s, t) = 0 pour s + ρ > R, où R est la
constante au delà de laquelle Γ s est stationnaire). Nous avons donc, pour n
assez grand
L
Γ
ρ n
(a n , Y n )
L p ([−rn,rn]×S 1 )
= L
Γλ
ρn Y n L p ([−rn,rn]×S 1 )
et donc, en particulier, ce dernier terme tend vers 0 lorsque n tend vers
l’infini. On peut alors utiliser le même argument que dans le lemme 9.4.9
pour démontrer le lemme suivant.
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D’autre part, l’homotopie (H
b , J
b ) est également régulière, donc L
v est
surjectif, donc son noyau est de dimension 1 et nous avons
Ker L
v =
α
∂v
∂s
(Z v
i
)
| α ∈ R
.
Suivant toujours le 11.2.b, définissons, pour ρ ≥ ρ 0 , les espaces
W ρ = {0# ρ β | β ∈ Ker L
v
}
W
⊥
ρ =
Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) |
R×S 1
Y, Z = 0 pour tout Z ∈ W ρ
.
et
Ici nous avons considéré que W ρ ⊂ L
q (R × S
1 ; R
2n ) (avec 1/p + 1/q = 1),
à l’aide du repère (Z
ρ
i ) et de la décroissance exponentielle (du § 8.9 et plus
précisément de la remarque 8.9.3), comme au § 9.4.
Afin d’appliquer la méthode de Newton-Picard (le lemme 9.4.4) nous
devons définir un inverse à droite pour l’opérateur L
Γ
ρ . Pour ce faire, nous
avons besoin de l’analogue de la proposition 9.4.7 que voici :
Proposition 11.4.2. Il existe un ρ 0 > 0 et une constante C > 0 telle que,
pour ρ ≥ ρ 0 ,
∀ Y ∈ W
⊥
ρ , ∀ a ∈ R,
L
Γ
ρ (a, Y )
L p ≥ C (Y W 1,p + |a|) .
Sur la signification de ρ ≥ ρ 0 , nous maintenons la convention de la
page 283 (autrement dit, il n’est pas nécessaire de préciser ρ 0 ).
Démonstration. Supposons le contraire (comme au début de la démonstration de la proposition 9.4.7). Il existe alors des suites ρ n → +∞ et
(a n , Y n ) ∈ R × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) tels que
|a n | + Y n W 1,p = 1 et
lim
n→+∞
L
Γ
ρ n
(a n , Y n )
L p = 0.
Posons r n = ρ n /2. Nous avons
V ρn (s, t) = 0 pour (s, t) ∈ [−r n , r n ] × S
1 et n assez grand
(en général, nous avons vu que V ρ (s, t) = 0 pour s + ρ > R, où R est la
constante au delà de laquelle Γ s est stationnaire). Nous avons donc, pour n
assez grand
L
Γ
ρ n
(a n , Y n )
L p ([−rn,rn]×S 1 )
= L
Γλ
ρn Y n L p ([−rn,rn]×S 1 )
et donc, en particulier, ce dernier terme tend vers 0 lorsque n tend vers
l’infini. On peut alors utiliser le même argument que dans le lemme 9.4.9
pour démontrer le lemme suivant.