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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
l’opérateur L
Γ λ
ρ
= (dF
Γ λ
ρ
) 0 . Puis
L
Γ
ρ (a, 0) =
∂
∂λ
λ=0
F
Γλ +aλ
ρ
exp wρ (0)
(Z
ρ
i
)i=1,...,2n
=
∂
∂λ
λ=0
∂w ρ
∂s
+ J
λ+aλ
s+ρ
∂w
∂t
+ grad wρ H
λ+aλ
s+ρ,t
(Z
ρ
i )i=1,...,2n
= a
∂J
∂λ
(λ , s + ρ)
∂w ρ
∂t
+ grad wρ
∂H
∂λ
(λ , s + ρ, t)
(Z
ρ
i
)i=1,...,2n
= a(V ρ ) (Z
ρ
i
)i=1,...,2n
où la formule définit V ρ , champ de vecteurs le long de w ρ . Sa forme ressemble beaucoup à celle du champ V défini dans la démonstration de la
proposition 11.3.5 le long de u ∈ M
Γ (x, y) (ici Γ = Γ λ ). Nous omettrons
dorénavant la mention du repère (Z
ρ
i ) i=1,...,2n dans l’écriture de la formule
pour L
Γ
ρ .
Ces deux champs de vecteurs satisfont à la relation
V ρ (s, t) = V (s + ρ, t) si s ≤ −1.
Remarquons également que, comme Γ = (H
b , J
b ) pour s ≥ R et λ ∈ [0, 1],
nous avons
V ρ (s, t) = 0 si s + ρ ≥ R,
ce qui inclut le cas s ≥ 1 et ρ ≥ R. Nous avons finalement obtenu
L
Γ
ρ = a(V ρ ) + L
Γ λ
ρ (Y ).
En raisonnant comme dans la démonstration de la proposition 11.3.5,
nous trouvons que L ρ est un opérateur de Fredholm, dont nous calculons
l’indice en utilisant le chemin d’opérateurs de Fredholm
L ρ,σ (a, Y ) = aσV ρ + L
Γ λ
ρ (Y ) pour σ ∈ [0, 1].
Nous obtenons
Ind L
Γ
ρ = Ind L
Γ
ρ,0 = Ind L
Γλ
ρ
+ 1 = 1.
Rappelons que, d’après le lemme 11.3.6, l’opérateur
Y
u : R × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
défini par
Y(a, Y ) = aV + L
u (Y )
est de Fredholm et d’indice (calculé comme ci-dessus)
Ind Y
u = 1 + Ind L
u = 0.
De plus, comme l’homotopie Γ est régulière, le lemme 11.3.6 affirme que Y
u
est surjectif, donc Ker Y
u = 0 et Y
u est bijectif.