11.4. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 11.3.14
389
11.4.b. Construction de ϕ. Nous utilisons encore une fois, comme
aux § 9.4 et 11.2.b, la méthode de Newton-Picard. En nous inspirant de la
remarque 11.4.1, nous reproduisons le début du § 11.2.b pour λ = λ . Nous
définissons les opérateurs (non linéaires)
F u , F v , F
Γ λ
ρ
: B(0, r) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
et leur linéarisés (différentielles en 0) respectifs
L
u , L
v , L
Γ λ
ρ
: W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
Comme au § 11.2.b, ces opérateurs sont de Fredholm. En revanche, leurs
indices sont modifiés comme suit :
Ind L
u = μ(x) − μ(y) = −1
Ind L
v = μ(y) − μ(z) = 1
Ind L
Γ λ
ρ
= μ(x) − μ(z) = 0.
Nous avons observé (remarque 11.4.1) que nous ne pourrions pas
construire ϕ en maintenant λ constant égal à λ . Considérons alors,
pour λ ∈ ]0, 1[, l’opérateur de Floer F
Γ λ
ρ défini par
F
Γλ
ρ =
∂
∂s
+ J
λ
s+ρ
∂
∂t
+ grad H
λ
s+ρ,t .
En utilisant les trivialisations du § 11.2.b, F
Γ λ
ρ
définit un opérateur (non
linéaire)
F
Γ λ
ρ : B(0, r) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
Toujours à l’aide des mêmes trivialisations, cela définit un opérateur (non
linéaire)
F
Γ
ρ : ]0, 1[ × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
par la formule
F
Γ
ρ (λ, Y ) = F
Γ λ
ρ (Y ).
Remarquons que, si (λ ρ , Y ρ ) est un zéro de F
Γ
ρ , alors F
Γλ
ρ (exp wρ Y ρ ) = 0,
ce qui signifie que ϕ ρ = exp wρ (Y ρ ) satisfait bien à l’équation de Floer désirée.
Notre objectif est donc de trouver un tel zéro... par la méthode de
Newton-Picard. À cette fin, déterminons d’abord l’opérateur linéarisé
L
Γ
ρ = (dF
Γ
ρ ) (λ,0) . Remarquons tout d’abord que L
Γ
ρ (0, •) est, par définition,
389
11.4.b. Construction de ϕ. Nous utilisons encore une fois, comme
aux § 9.4 et 11.2.b, la méthode de Newton-Picard. En nous inspirant de la
remarque 11.4.1, nous reproduisons le début du § 11.2.b pour λ = λ . Nous
définissons les opérateurs (non linéaires)
F u , F v , F
Γ λ
ρ
: B(0, r) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
et leur linéarisés (différentielles en 0) respectifs
L
u , L
v , L
Γ λ
ρ
: W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
Comme au § 11.2.b, ces opérateurs sont de Fredholm. En revanche, leurs
indices sont modifiés comme suit :
Ind L
u = μ(x) − μ(y) = −1
Ind L
v = μ(y) − μ(z) = 1
Ind L
Γ λ
ρ
= μ(x) − μ(z) = 0.
Nous avons observé (remarque 11.4.1) que nous ne pourrions pas
construire ϕ en maintenant λ constant égal à λ . Considérons alors,
pour λ ∈ ]0, 1[, l’opérateur de Floer F
Γ λ
ρ défini par
F
Γλ
ρ =
∂
∂s
+ J
λ
s+ρ
∂
∂t
+ grad H
λ
s+ρ,t .
En utilisant les trivialisations du § 11.2.b, F
Γ λ
ρ
définit un opérateur (non
linéaire)
F
Γ λ
ρ : B(0, r) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
Toujours à l’aide des mêmes trivialisations, cela définit un opérateur (non
linéaire)
F
Γ
ρ : ]0, 1[ × W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
par la formule
F
Γ
ρ (λ, Y ) = F
Γ λ
ρ (Y ).
Remarquons que, si (λ ρ , Y ρ ) est un zéro de F
Γ
ρ , alors F
Γλ
ρ (exp wρ Y ρ ) = 0,
ce qui signifie que ϕ ρ = exp wρ (Y ρ ) satisfait bien à l’équation de Floer désirée.
Notre objectif est donc de trouver un tel zéro... par la méthode de
Newton-Picard. À cette fin, déterminons d’abord l’opérateur linéarisé
L
Γ
ρ = (dF
Γ
ρ ) (λ,0) . Remarquons tout d’abord que L
Γ
ρ (0, •) est, par définition,