388
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
et une constante λ ρ telles que ψ ρ soit une solution de l’équation de Floer à
paramètres
∂ψ ρ
∂s
+ J
λρ
s
∂ψ ρ
∂t
+ grad ψρ H
λρ
s,t = 0
avec les conditions
lim
s→−∞
ψ ρ (s, •) = x,
lim
s→+∞
ψ(s, •) = z.
Remarque 11.4.1. Une solution naïve serait de prendre λ ρ = λ et d’essayer
de définir ψ ρ comme au § 11.2, à partir du pré-recollement de u et d’un relèvement v ∈ M (H b ,J b ) (y, z) de
v. Cette méthode est vouée à l’échec puisque,
comme l’homotopie Γ λ n’est pas régulière (encore la remarque 11.3.12),
nous ne pouvons pas déduire que l’opérateur linéarisé L u = (dF
Γ λ ) u est
surjectif. Nous ne pouvons donc pas construire l’opérateur inverse G ρ , qui
est indispensable pour la méthode de Newton-Picard des § 9.4 et 11.2. ici
Coker L u est de dimension 1. C’est la variation de λ qui va fournir la dimension manquante.
Suivant toujours le § 9.4, faisons la substitution
ϕ ρ (s, t) = ψ ρ (s + ρ, t).
L’application ϕ ρ devra satisfaire à l’équation
∂ϕ ρ
∂s
+ J
λρ
s+ρ
∂ϕ ρ
∂t
+ grad ϕρ H
λρ
s+ρ,t = 0.
Nous conservons le même plan qu’aux § 9.4 et 11.2, c’est-à-dire
(1) pré-recollement ;
(2) construction de ϕ (et donc de ψ, via la substitution ci-dessus) ;
(3) propriétés de ψ.
11.4.a. Pré-recollement. Fixons un relèvement v ∈ M (H b ,J b ) (y, z) de
v.
La formule du pré-recollement w ρ = u# ρ v est inchangée :
w ρ (s, t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u(s + ρ, t)
s i s ≤ −1
exp y(t)
β
− (s) exp
−1
y(t) (u(s + ρ, t))
+ β
+ (s) exp
−1
y(t) (v(s − ρ, t))
si s ∈ [−1, 1]
v(s − ρ, t)
s i s ≥ 1
et ses propriétés sont analogues à celles données au 9.3.
De même, la version linéaire du pré-recollement
Y # ρ Z, pour Y ∈ T P u (x, y) et Z ∈ T P v (y, z)
est définie par la même formule et a les mêmes propriétés que son analogue
du 9.3.