11.4. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 11.3.14
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11.3.d. Le recollement. Lorsque μ(x) = μ(z), un point de Π
Γ (x, z) est
une orbite brisée, qui peut-être
– de la forme [ u
, (λ
, v
)] ∈ L (H a ,J a ) (x, y
) × M
Γ (y
, z),
– ou bien de la forme [(λ, u),
v] ∈ M
Γ (x, y) × L (H b ,J b ) (y, z),
pour un y
∈ Crit(A H a ) qui vérifie μ(x)−μ(y) = 1 ou pour un y ∈ Crit(A H b )
qui vérifie μ(y) − μ(z) = 1.
Pour finir la démonstration du théorème 11.3.11 (ii), nous utilisons un
procédé de recollement analogue à celui du § 11.1.d pour construire, pour
chaque point de Π
Γ (x, z), un plongement ρ → ψ(ρ) dans M
Γ (x, z), qui
donnera un paramétrage de la variété à bord M
Γ (x, z) ∪ Π
Γ (x, z) près du
point de Π
Γ (x, z) considéré.
Nous nous contenterons de le faire seulement pour les points de la forme
[(λ, u),
v], la démonstration pour les autres étant analogue. L’énoncé précis
est :
Théorème 11.3.14. Soit x un point critique de A H a , et soient y, z, des points
critiques de A H b tels que
μ(x) = μ(z) = μ(y) − 1.
Soient (λ , u) ∈ M
Γ (x, y) et
v ∈ L (H b ,J b ) (y, z). Alors :
– Il existe un plongement ψ : [ρ 0 , +∞[ → M
Γ (x, z) (pour un certain ρ 0 )
tel que lim ρ→+∞ ψ(ρ) = [(λ , u),
v].
– Si [λ n , , n ] est une suite d’éléments de M
Γ (x, z) qui tend vers [(λ , u),
v],
alors [λ n , , n ] ∈ Im ψ pour n assez grand.
La convergence dont il est question dans ce théorème est celle définie
dans le théorème 11.3.10. La démonstration est donnée dans la section qui
suit.
11.4. Démonstration du théorème 11.3.14
Nous reprenons la démonstration (donnée au § 11.2) du théorème 11.1.16,
en soulignant les modifications à opérer.
Notons d’abord que le λ de l’énoncé est dans l’intervalle ouvert ]0, 1[. En
effet, la variété (de dimension 0) M
Γ (x, y) est formée de couples (λ, u) pour
lesquels les homotopies Γ λ ne sont pas régulières (c’est la remarque 11.3.12).
Cela exclut les valeurs λ = 0 ou 1. Notre objectif est de définir, pour ρ ≥ ρ 0 ,
une application
ψ ρ : R × S
1
−→ W
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11.3.d. Le recollement. Lorsque μ(x) = μ(z), un point de Π
Γ (x, z) est
une orbite brisée, qui peut-être
– de la forme [ u
, (λ
, v
)] ∈ L (H a ,J a ) (x, y
) × M
Γ (y
, z),
– ou bien de la forme [(λ, u),
v] ∈ M
Γ (x, y) × L (H b ,J b ) (y, z),
pour un y
∈ Crit(A H a ) qui vérifie μ(x)−μ(y) = 1 ou pour un y ∈ Crit(A H b )
qui vérifie μ(y) − μ(z) = 1.
Pour finir la démonstration du théorème 11.3.11 (ii), nous utilisons un
procédé de recollement analogue à celui du § 11.1.d pour construire, pour
chaque point de Π
Γ (x, z), un plongement ρ → ψ(ρ) dans M
Γ (x, z), qui
donnera un paramétrage de la variété à bord M
Γ (x, z) ∪ Π
Γ (x, z) près du
point de Π
Γ (x, z) considéré.
Nous nous contenterons de le faire seulement pour les points de la forme
[(λ, u),
v], la démonstration pour les autres étant analogue. L’énoncé précis
est :
Théorème 11.3.14. Soit x un point critique de A H a , et soient y, z, des points
critiques de A H b tels que
μ(x) = μ(z) = μ(y) − 1.
Soient (λ , u) ∈ M
Γ (x, y) et
v ∈ L (H b ,J b ) (y, z). Alors :
– Il existe un plongement ψ : [ρ 0 , +∞[ → M
Γ (x, z) (pour un certain ρ 0 )
tel que lim ρ→+∞ ψ(ρ) = [(λ , u),
v].
– Si [λ n , , n ] est une suite d’éléments de M
Γ (x, z) qui tend vers [(λ , u),
v],
alors [λ n , , n ] ∈ Im ψ pour n assez grand.
La convergence dont il est question dans ce théorème est celle définie
dans le théorème 11.3.10. La démonstration est donnée dans la section qui
suit.
11.4. Démonstration du théorème 11.3.14
Nous reprenons la démonstration (donnée au § 11.2) du théorème 11.1.16,
en soulignant les modifications à opérer.
Notons d’abord que le λ de l’énoncé est dans l’intervalle ouvert ]0, 1[. En
effet, la variété (de dimension 0) M
Γ (x, y) est formée de couples (λ, u) pour
lesquels les homotopies Γ λ ne sont pas régulières (c’est la remarque 11.3.12).
Cela exclut les valeurs λ = 0 ou 1. Notre objectif est de définir, pour ρ ≥ ρ 0 ,
une application
ψ ρ : R × S
1
−→ W