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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Supposons pour le moment ce théorème démontré. Nous pouvons alors
atteindre le but de ce paragraphe, qui était la démonstration de la proposition 11.2.8.
Démonstration de la proposition 11.2.8. Définissons l’homotopie
S : CF (H
a , J
a ) −→ CF +1 (H
b , J
b ).
Si x est un point critique de A H a d’indice μ(x) = k, posons
S k (x) =
y∈Crit A H a
μ(y)=k+1
m
Γ (x, y) · y
où m
Γ (x, y) est, bien sûr, le nombre d’éléments de M
Γ (x, y) comptés modulo 2. Nous voulons montrer que
Φ
Γ1
− Φ
Γ0 = S ◦ ∂ (H a ,J a ) + ∂ (H b ,J b ) ◦ S.
Évaluons le membre de droite pour un x ∈ Crit A H a avec μ(x) = k. Nous
avons
S ◦ ∂ (H a ,J a ) (x) + ∂ (H b ,J b ) ◦ S(x)
= S k−1
y
∈Crit A H a
μ(y
)=k−1
n
a (x, y
)y
+ ∂ (H b ,J b )
y∈Crit A H b
μ(y)=k+1
m
Γ (x, y)y
=
z∈Crit A H b
μ(z)=k
y
∈Crit A H a
μ(y
)=k−1
n
a (x, y
)m
Γ (y
, z)z
+
z∈Crit A H b
μ(z)=k
y∈Crit A H b
μ(y)=k+1
m
Γ (x, y)n
b (y, z)z
=
z∈Crit A H b
μ(z)=k
(#Π
Γ (x, z))z.
D’autre part,
Φ
Γ0 (x) + Φ
Γ1 (x) =
z∈Crit A H b
μ(z)=k
(#M
Γ0 (x, z))z +
z∈Crit A H b
μ(z)=k
(#M
Γ1 (x, z))z.
Comme, d’après le théorème 11.3.11, le bord de la variété M
Γ (x, z)∪Π
Γ (x, z)
(qui est compacte de dimension 1) est la réunion
Π
Γ (x, z) ∪
{0} × M
Γ0 (x, z)
∪
{1) × M
Γ1 (x, z)
,
le nombre total de points de cette réunion est pair, d’où
S ◦ ∂ (H a ,J a ) (x) + ∂ (H b ,J b ) ◦ S(x) = (Φ
Γ0 + Φ
Γ1 )(x),