11.3. DÉMONSTRATION DE LA PROPOSITION 11.2.8
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Théorème 11.3.10. Soit (λ n , u n ) une suite d’éléments de M
Γ (x, y). Il existe
– une sous-suite de (λ n , u n ),
– des points critiques x = x 0 , x 1 , . . . , x k de A H a ,
– des points critiques y 0 , y 1 , . . . , y = y de A H b ,
– des suites réelles (s
i
n ) pour 0 ≤ i ≤ k − 1 (tendant vers −∞) et (s
j
n )
pour 0 ≤ j ≤ − 1 (tendant vers +∞),
– des éléments u
i
∈ M
(H
a ,J
a ) (x i , x i+1 ) pour 0 ≤ i ≤ k−1 et des éléments
v
j
∈ M
(H
b ,J
b ) (y j , y j+1 ) pour 0 ≤ j ≤ − 1,
– un élément (λ , w) ∈ M
Γ (x k , y 0 )
tels que pour 0 ≤ i ≤ k − 1 et pour 0 ≤ j ≤ − 1, on ait
lim u n · s
i
n = u
i
et lim u n · s
j
n = v
j
et
lim(λ n , u n ) = (λ , w).
De plus, on a l’inégalité
μ(x) − μ(y) + 1 ≥ k + .
Démonstration. La preuve de l’assertion d’existence est en tout point analogue à celle de l’assertion analogue 11.1.10. Elle s’appuie sur l’assertion de
compacité du théorème 11.3.7 et sur le lemme 11.3.9. L’inégalité finale se
démontre de la même façon que le corollaire 11.1.11.
Voici un énoncé conséquence du théorème 11.3.10 :
Théorème 11.3.11.
(i) Soient x et y des points critiques de H
a et H
b respectivement et soit
Γ = (H, J) une homotopie régulière. Si μ(x) − μ(y) + 1 = 0, alors M
Γ (x, y)
est une variété compacte de dimension 0 (c’est-à-dire un nombre fini de
points).
(ii) Soient x et z des points critiques de H
a et H
b respectivement et soit
Γ = (H, J) une homotopie régulière. Si μ(x) = μ(z), et si Π
Γ (x, z) désigne
Π
Γ (x, z) =
y
∈Crit A H a
μ(x)−μ(y
)=1
L (H a ,J a ) (x, y
) × M
Γ (y
, z)
∪
y∈Crit A H b
μ(y)−μ(z)=1
M
Γ (x, y) × L (H b ,J b ) (y, z)
.
Alors M
Γ (x, z) ∪ Π
Γ (x, z) est une variété à bord compacte de dimension 1
dont le bord est
Π
Γ (x, z) ∪
{0} × M
Γ0 (x, z)
∪
{1) × M
Γ1 (x, z)
.