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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Proposition 11.3.8. Il existe une constante A > 0 telle que
∀ (u, λ) ∈ M
Γλ , ∀ (s, t) ∈ R × S
1 ,
grad (s,t) u
≤ A.
Cet énoncé implique que la famille (u n ) est équicontinue, d’où l’on conclut
à l’aide du théorème d’Ascoli et de la régularité elliptique 12.1.1 que la
suite (u n ) tend vers une limite u dans la topologie C
∞
loc . Cette limite u est
solution de
∂u
∂s
+ J
λ
s
∂u
∂t
+ grad u H
λ
s,t (u) = 0,
elle vérifie que E(u) ≤ C, donc u ∈ M
Γ λ et par conséquent (λ, u) ∈ M
Γ .
Et le théorème 11.3.7 est démontré.
Analysons maintenant le comportement des suites (λ n , u n ) d’éléments de
M
Γ (x, y). Voici pour commencer un analogue du lemme 11.1.12.
Lemme 11.3.9. Soient x ∈ Crit A H a , y ∈ Crit A H b et (λ n , u n ) une suite
dans M
Γ (x, y). Soit (s n ) une suite de nombres réels qui tend vers +∞.
Alors il existe une sous-suite (encore notée (λ n , u n )) et un élément (λ , v) ∈
[0, 1] × M
(H
b ,J
b ) tels que
lim λ n = λ et lim u n · s n = v.
De même, si lim s n = −∞, il existe une sous-suite et un élément (λ , u) ∈
[0, 1] × M
(H
a ,J
a ) tels que
lim λ n = λ et lim u n · s n = u.
Démonstration. Quitte à en extraire une sous-suite, on peut supposer que
la suite des λ n converge, vers un λ ∈ [0, 1]. Puis, v n = u n · s n est solution
de l’équation de Floer
∂v n
∂s
+ J
λn
s+sn
∂v n
∂t
+ grad vn H
λn
s+sn = 0.
En appliquant la proposition 11.3.8, on montre, à l’aide du théorème
d’Ascoli et de la régularité elliptique 12.1.1, que u n · s n converge, pour la
topologie C
∞
loc , vers une limite v ∈ C
∞ (R × S
1 ; W ). En faisant tendre n vers
+∞ dans l’équation de Floer, on trouve bien que v est solution de
∂v
∂s
+ J
b ∂v
∂t
+ grad v H
b = 0
(parce que Γ = (H
b , J
b ) pour s assez grand), autrement dit, v ∈ M
(H
b ,J
b ) .
Le cas où (s n ) tend vers l’infini est analogue.
Nous allons utiliser ce lemme pour démontrer un théorème de convergence
vers les orbites brisées, analogue à 11.1.10.
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Proposition 11.3.8. Il existe une constante A > 0 telle que
∀ (u, λ) ∈ M
Γλ , ∀ (s, t) ∈ R × S
1 ,
grad (s,t) u
≤ A.
Cet énoncé implique que la famille (u n ) est équicontinue, d’où l’on conclut
à l’aide du théorème d’Ascoli et de la régularité elliptique 12.1.1 que la
suite (u n ) tend vers une limite u dans la topologie C
∞
loc . Cette limite u est
solution de
∂u
∂s
+ J
λ
s
∂u
∂t
+ grad u H
λ
s,t (u) = 0,
elle vérifie que E(u) ≤ C, donc u ∈ M
Γ λ et par conséquent (λ, u) ∈ M
Γ .
Et le théorème 11.3.7 est démontré.
Analysons maintenant le comportement des suites (λ n , u n ) d’éléments de
M
Γ (x, y). Voici pour commencer un analogue du lemme 11.1.12.
Lemme 11.3.9. Soient x ∈ Crit A H a , y ∈ Crit A H b et (λ n , u n ) une suite
dans M
Γ (x, y). Soit (s n ) une suite de nombres réels qui tend vers +∞.
Alors il existe une sous-suite (encore notée (λ n , u n )) et un élément (λ , v) ∈
[0, 1] × M
(H
b ,J
b ) tels que
lim λ n = λ et lim u n · s n = v.
De même, si lim s n = −∞, il existe une sous-suite et un élément (λ , u) ∈
[0, 1] × M
(H
a ,J
a ) tels que
lim λ n = λ et lim u n · s n = u.
Démonstration. Quitte à en extraire une sous-suite, on peut supposer que
la suite des λ n converge, vers un λ ∈ [0, 1]. Puis, v n = u n · s n est solution
de l’équation de Floer
∂v n
∂s
+ J
λn
s+sn
∂v n
∂t
+ grad vn H
λn
s+sn = 0.
En appliquant la proposition 11.3.8, on montre, à l’aide du théorème
d’Ascoli et de la régularité elliptique 12.1.1, que u n · s n converge, pour la
topologie C
∞
loc , vers une limite v ∈ C
∞ (R × S
1 ; W ). En faisant tendre n vers
+∞ dans l’équation de Floer, on trouve bien que v est solution de
∂v
∂s
+ J
b ∂v
∂t
+ grad v H
b = 0
(parce que Γ = (H
b , J
b ) pour s assez grand), autrement dit, v ∈ M
(H
b ,J
b ) .
Le cas où (s n ) tend vers l’infini est analogue.
Nous allons utiliser ce lemme pour démontrer un théorème de convergence
vers les orbites brisées, analogue à 11.1.10.