11.3. DÉMONSTRATION DE LA PROPOSITION 11.2.8
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d’après le théorème 11.3.3. Le théorème 11.3.2 est maintenant complètement
démontré.
Nous supposerons désormais que les homotopies Γ = (H, J) sont régulières, ce qui implique que les espaces M
Γ (x, y) sont des variétés de dimension μ(x) − μ(y) + 1, comme dans la conclusion du théorème 11.3.2. Nous
supposerons de plus que l’opérateur Y défini dans le lemme 11.3.6 est surjectif, ce que le théorème 11.3.2 nous autorise à faire, en perturbant au
besoin H par un h ∈ C
∞
ε .
11.3.c. Compacité, orbites brisées. Soit Γ = (H, J) comme ci-dessus.
Notons
M
Γ =
x∈Crit A H a
y∈Crit A H b
M
Γ (x, y) =
λ∈[0,1]
{λ} × M
Γ λ .
Nous démontrons :
Théorème 11.3.7. Il existe une constante C > 0 telle que E(u) ≤ C pour
tous (λ, u) ∈ M
Γ . L’espace M
Γ est compact pour la topologie C
∞
loc .
Dans cet énoncé, l’énergie E(u) est calculée avec la norme associée à la
métrique ω(·, J
λ
s ).
Démonstration. Montrons d’abord que l’énergie est bornée. Soit (λ, u) ∈ M
Γ .
Il existe deux points critiques x et y (respectivement de H
a et de H
b ) tels
que u ∈ M
Γ λ (x, y). La proposition 11.1.2 affirme que
E(u) ≤ A H a − A H b + k
où k est le maximum sur [−R, R] × S
1
× W de ∂H
λ /∂s(s, t, z). Il suffit de
définir K comme le maximum de cette même fonction quand λ varie lui
aussi,
K = sup
∂H
λ
∂s
(s, t, z) | (λ, s, t, z) ∈ [0, 1] × [−R, R] × S
1
× W
,
de poser
C = max
x∈Crit A H a
y∈Crit H
b
A H a − A H b + K
pour avoir E(u) ≤ C.
Montrons maintenant l’énoncé de compacité proprement dit. Soit
(λ n , u n ) n∈N une suite dans M
Γ . À extraction d’un sous-suite près, (λ n )
converge vers un λ ∈ [0, 1]. En utilisant le fait que l’énergie est bornée, on
démontre de façon analogue à 11.1.5 :