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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Lemme 11.3.6. Soit h 0 ∈ H reg et soit (λ, u) ∈ M
Γ(h0) (x, y). L’opérateur
Y : R × W
1,p (u
T W ) −→ L
p (u
T W )
défini par Y(a, Y ) = aV + (dF
Γ λ (H+h0) ) u (Y ) est surjectif.
Dans cet énoncé, V désigne toujours le champ de vecteurs défini et utilisé
dans la démonstration de la proposition 11.3.5.
Démonstration. Remarquons d’abord que Ker Y = Ker(dπ) (λ,u,H+h0) est de
dimension finie et que Im Y = RV + Im(dF
Γ λ ) u est fermé et de codimension
finie dans L
p (u
T W ). Autrement dit, Y est un opérateur de Fredholm. Supposons qu’il ne soit pas surjectif. Il existe donc, comme dans le lemme 8.5.1,
un champ de vecteurs non nul Z ∈ L
q (u
T W ) (ici 1/p + 1/q = 1) tel que
Z, Im Y = 0, ce qui revient à :
Z, V = 0 et Z, Im(dF
Γλ ) u = 0.
La deuxième condition implique que Z est de classe C
∞ , en vertu de la régularité elliptique, comme dans la démonstration de 8.5.1. Utilisons maintenant l’hypothèse que h 0 ∈ H reg . Elle implique que (dπ) (λ,u,H+h0) est surjective, ce qui signifie que pour tout h ∈ C
∞
ε , il existe (a, Y ) ∈ R×W
1,p (u
T W )
tel que
aV + (dF
Γ λ ) u (Y ) + grad u h = 0
(autrement dit, (a, Y, h) ∈ T (λ,u,H+h0) Z(x, y, J)). On en déduit que
Z, grad u h = 0 pour tout h ∈ C
∞
ε ,
ce qui est contradictoire, compte tenu du lemme 11.1.9. Le lemme est démontré.
On trouve alors, avec les notations du lemme précédent,
dim M
Γ(h) (x, y) = dim Ker(dπ) (λ,u,H+h0) = dim Ker Y = Ind Y.
Pour calculer l’indice de Fredholm de Y, considérons le chemin d’opérateurs
(Y σ ) σ∈[0,1]
Y σ : R × W
1,p (u
T W ) −→ L
p (u
T W )
(a, Y ) −→ aσV + (dF
Γλ(H+h) ) u (Y ).
Ce sont des opérateurs de Fredholm puisqu’ils ont la même forme que Y.
En particulier, leur indice ne dépend pas de σ (d’après 16.2.11), il est donc
égal à celui de Y 0 , mais
Y 0 (a, Y ) = (dF
Γ λ ) u (Y ),
donc
Ind Y = Ind Y 0 = Ind(dF
Γ λ ) u + 1 = μ(x) − μ(y) + 1
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Lemme 11.3.6. Soit h 0 ∈ H reg et soit (λ, u) ∈ M
Γ(h0) (x, y). L’opérateur
Y : R × W
1,p (u
T W ) −→ L
p (u
T W )
défini par Y(a, Y ) = aV + (dF
Γ λ (H+h0) ) u (Y ) est surjectif.
Dans cet énoncé, V désigne toujours le champ de vecteurs défini et utilisé
dans la démonstration de la proposition 11.3.5.
Démonstration. Remarquons d’abord que Ker Y = Ker(dπ) (λ,u,H+h0) est de
dimension finie et que Im Y = RV + Im(dF
Γ λ ) u est fermé et de codimension
finie dans L
p (u
T W ). Autrement dit, Y est un opérateur de Fredholm. Supposons qu’il ne soit pas surjectif. Il existe donc, comme dans le lemme 8.5.1,
un champ de vecteurs non nul Z ∈ L
q (u
T W ) (ici 1/p + 1/q = 1) tel que
Z, Im Y = 0, ce qui revient à :
Z, V = 0 et Z, Im(dF
Γλ ) u = 0.
La deuxième condition implique que Z est de classe C
∞ , en vertu de la régularité elliptique, comme dans la démonstration de 8.5.1. Utilisons maintenant l’hypothèse que h 0 ∈ H reg . Elle implique que (dπ) (λ,u,H+h0) est surjective, ce qui signifie que pour tout h ∈ C
∞
ε , il existe (a, Y ) ∈ R×W
1,p (u
T W )
tel que
aV + (dF
Γ λ ) u (Y ) + grad u h = 0
(autrement dit, (a, Y, h) ∈ T (λ,u,H+h0) Z(x, y, J)). On en déduit que
Z, grad u h = 0 pour tout h ∈ C
∞
ε ,
ce qui est contradictoire, compte tenu du lemme 11.1.9. Le lemme est démontré.
On trouve alors, avec les notations du lemme précédent,
dim M
Γ(h) (x, y) = dim Ker(dπ) (λ,u,H+h0) = dim Ker Y = Ind Y.
Pour calculer l’indice de Fredholm de Y, considérons le chemin d’opérateurs
(Y σ ) σ∈[0,1]
Y σ : R × W
1,p (u
T W ) −→ L
p (u
T W )
(a, Y ) −→ aσV + (dF
Γλ(H+h) ) u (Y ).
Ce sont des opérateurs de Fredholm puisqu’ils ont la même forme que Y.
En particulier, leur indice ne dépend pas de σ (d’après 16.2.11), il est donc
égal à celui de Y 0 , mais
Y 0 (a, Y ) = (dF
Γ λ ) u (Y ),
donc
Ind Y = Ind Y 0 = Ind(dF
Γ λ ) u + 1 = μ(x) − μ(y) + 1