11.3. DÉMONSTRATION DE LA PROPOSITION 11.2.8
379
D’après l’expression de l’espace tangent à Z(x, y, J), nous voyons que le
noyau de (dπ) (λ,u,H+h0) est l’espace
(a, Y, 0) | (a, Y ) ∈ R × W
1,p (u
T W ) et aV + (dF
Γ λ ) u (Y ) = 0
.
Montrons donc que cet espace est de dimension finie. On distingue deux
cas :
(1) Si V ∈ Im((dF
Γλ ) u ). On trouve dans ce cas
Ker(dπ) (λ,u,H+h0) =
(0, Y, 0) | Y ∈ Ker(dF
Γλ
u )
qui est de dimension finie par le théorème 11.3.3.
(2) Si V ∈ Im((dF
Γλ ) u ). Choisissons un Y 0 ∈ W
1,p (u
T W ) tel que
(dF
Γ λ ) u (Y 0 ) = V . On en déduit
Ker(dπ) (λ,u,H+h0) =
(a, Y, 0) | a(dF
Γ λ ) u (Y 0 ) + (dF
Γ λ ) u (Y ) = 0
.
Cet espace est isomorphe à RY 0 + Ker(dF
Γ λ ) u , qui est aussi de dimension
finie.
Ensuite, l’image de (dπ) (λ,u,H+h0) est fermée et de codimension finie,
toujours en vertu du théorème 11.3.3. En effet, c’est l’image réciproque du
sous-espace fermé de codimension finie
RV + Im((dF
Γλ
u ) ⊂ L
p (u
T W )
par l’application linéaire h → grad u h vue comme une application
C
∞
ε −→ L
p (u
T W ).
Par conséquent, π est bien une application de Fredholm, ce qui démontre la
proposition 11.3.5 (grâce au théorème de Sard-Smale).
Notons donc H reg ⊂ C
∞
ε le voisinage donné par cette proposition. Nous
venons de démontrer que, pour h ∈ H reg , l’homotopie Γ(h) a la propriété
que, pour tous points critiques x ∈ Crit A H a , y ∈ Crit A H b , l’ensemble
π
−1 (h) = M
Γ(h) (x, y) ∩ {λ ∈ ]0, 1[}
est une variété (avec la topologie C
∞
loc (voir la remarque 8.5.9)). On en
déduit, en utilisant le même argument qu’au début de la démonstration du
théorème 11.3.2, que M
Γ(h) (x, y) est une variété à bord.
Pour finir la démonstration de ce théorème 11.3.2, déterminons la dimension de cette variété. Elle est égale à la dimension du noyau de (dπ) (λ,u,H+h0)
pour un h 0 ∈ H reg . Nous avons décrit cet espace vectoriel dans la démonstration de la proposition 11.3.5. Pour déterminer sa dimension, nous utiliserons
le lemme suivant.
379
D’après l’expression de l’espace tangent à Z(x, y, J), nous voyons que le
noyau de (dπ) (λ,u,H+h0) est l’espace
(a, Y, 0) | (a, Y ) ∈ R × W
1,p (u
T W ) et aV + (dF
Γ λ ) u (Y ) = 0
.
Montrons donc que cet espace est de dimension finie. On distingue deux
cas :
(1) Si V ∈ Im((dF
Γλ ) u ). On trouve dans ce cas
Ker(dπ) (λ,u,H+h0) =
(0, Y, 0) | Y ∈ Ker(dF
Γλ
u )
qui est de dimension finie par le théorème 11.3.3.
(2) Si V ∈ Im((dF
Γλ ) u ). Choisissons un Y 0 ∈ W
1,p (u
T W ) tel que
(dF
Γ λ ) u (Y 0 ) = V . On en déduit
Ker(dπ) (λ,u,H+h0) =
(a, Y, 0) | a(dF
Γ λ ) u (Y 0 ) + (dF
Γ λ ) u (Y ) = 0
.
Cet espace est isomorphe à RY 0 + Ker(dF
Γ λ ) u , qui est aussi de dimension
finie.
Ensuite, l’image de (dπ) (λ,u,H+h0) est fermée et de codimension finie,
toujours en vertu du théorème 11.3.3. En effet, c’est l’image réciproque du
sous-espace fermé de codimension finie
RV + Im((dF
Γλ
u ) ⊂ L
p (u
T W )
par l’application linéaire h → grad u h vue comme une application
C
∞
ε −→ L
p (u
T W ).
Par conséquent, π est bien une application de Fredholm, ce qui démontre la
proposition 11.3.5 (grâce au théorème de Sard-Smale).
Notons donc H reg ⊂ C
∞
ε le voisinage donné par cette proposition. Nous
venons de démontrer que, pour h ∈ H reg , l’homotopie Γ(h) a la propriété
que, pour tous points critiques x ∈ Crit A H a , y ∈ Crit A H b , l’ensemble
π
−1 (h) = M
Γ(h) (x, y) ∩ {λ ∈ ]0, 1[}
est une variété (avec la topologie C
∞
loc (voir la remarque 8.5.9)). On en
déduit, en utilisant le même argument qu’au début de la démonstration du
théorème 11.3.2, que M
Γ(h) (x, y) est une variété à bord.
Pour finir la démonstration de ce théorème 11.3.2, déterminons la dimension de cette variété. Elle est égale à la dimension du noyau de (dπ) (λ,u,H+h0)
pour un h 0 ∈ H reg . Nous avons décrit cet espace vectoriel dans la démonstration de la proposition 11.3.5. Pour déterminer sa dimension, nous utiliserons
le lemme suivant.