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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
On définit une famille de sections (σ λ ) λ∈[0,1] par
σ λ (u, h) =
∂u
∂s
+ J
λ (u)
∂u
∂t
+ grad u (H
λ + h
λ ).
Exactement comme au § 11.1 (en utilisant l’analogue de la proposition 11.1.8), on démontre que, pour tout λ ∈ ]0, 1[, l’application σ λ est
transverse à la section nulle du fibré E ci-dessus. Il s’ensuit que la même
propriété est vérifiée par l’application C
∞
σ : ]0, 1[ × P
1,p (x, y) × C
∞
ε −→ E
(λ, u, h) −→ σ λ (u, h),
ce qui implique, en vertu du théorème des fonctions implicites, l’analogue
de 8.1.3 :
Proposition 11.3.4. Pour x ∈ Crit A H a , y ∈ Crit A H b , l’espace Z(x, y, J) des
(λ, u, H + h) | λ ∈ ]0, 1[, h ∈ C
∞
ε , u ∈ M
Γ λ (x, y, (H + h)
λ , J
λ )
est une variété de Banach.
La présence du paramètre λ oblige à modifier (par rapport au § 8.5.c)
l’expression de l’espace tangent à Z(x, y, J) en un point (λ, u, H + h 0 ). Dans
notre nouveau contexte, cet espace, qui est le noyau de (dσ) (λ,u,H+h0) , est
constitué de tous les (a, Y, h) ∈ R × W
1,p
× C
∞
ε qui vérifient l’équation
a
∂J
λ
∂λ
(u)
∂u
∂t
+ a grad u
∂(H + h 0 )
λ
∂λ
+ (dF
Γ λ ) u (Y ) + grad u (h
λ ) = 0.
Pour démontrer le théorème 11.3.3, nous utilisons :
Proposition 11.3.5. Soit π : Z(x, y, J) → C
∞
ε la projection. L’ensemble des
valeurs régulières de π situées dans un voisinage de 0 dans C
∞
ε est un ouvert
dense de ce voisinage.
Démonstration. L’énoncé est une application directe du théorème de SardSmale (ici le théorème 8.5.6), à condition que nous prouvions que π est une
application de Fredholm. Montrons donc que pour tout (λ, u, H + h 0 ) ∈
Z(x, y, J), l’opérateur
(dπ) (λ,u,H+h0) : T (λ,u,H+h0) Z(x, y, J) −→ T h0 C
∞
ε ,
qui est de la forme (a, Y, h) → h, est un opérateur de Fredholm. Notons V
le champ de vecteurs
V =
∂J
λ
∂λ
(u)
∂u
∂t
+ grad u
∂(H
λ + h
λ
0 )
∂λ
∈ L
p (u
T W ).
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
On définit une famille de sections (σ λ ) λ∈[0,1] par
σ λ (u, h) =
∂u
∂s
+ J
λ (u)
∂u
∂t
+ grad u (H
λ + h
λ ).
Exactement comme au § 11.1 (en utilisant l’analogue de la proposition 11.1.8), on démontre que, pour tout λ ∈ ]0, 1[, l’application σ λ est
transverse à la section nulle du fibré E ci-dessus. Il s’ensuit que la même
propriété est vérifiée par l’application C
∞
σ : ]0, 1[ × P
1,p (x, y) × C
∞
ε −→ E
(λ, u, h) −→ σ λ (u, h),
ce qui implique, en vertu du théorème des fonctions implicites, l’analogue
de 8.1.3 :
Proposition 11.3.4. Pour x ∈ Crit A H a , y ∈ Crit A H b , l’espace Z(x, y, J) des
(λ, u, H + h) | λ ∈ ]0, 1[, h ∈ C
∞
ε , u ∈ M
Γ λ (x, y, (H + h)
λ , J
λ )
est une variété de Banach.
La présence du paramètre λ oblige à modifier (par rapport au § 8.5.c)
l’expression de l’espace tangent à Z(x, y, J) en un point (λ, u, H + h 0 ). Dans
notre nouveau contexte, cet espace, qui est le noyau de (dσ) (λ,u,H+h0) , est
constitué de tous les (a, Y, h) ∈ R × W
1,p
× C
∞
ε qui vérifient l’équation
a
∂J
λ
∂λ
(u)
∂u
∂t
+ a grad u
∂(H + h 0 )
λ
∂λ
+ (dF
Γ λ ) u (Y ) + grad u (h
λ ) = 0.
Pour démontrer le théorème 11.3.3, nous utilisons :
Proposition 11.3.5. Soit π : Z(x, y, J) → C
∞
ε la projection. L’ensemble des
valeurs régulières de π situées dans un voisinage de 0 dans C
∞
ε est un ouvert
dense de ce voisinage.
Démonstration. L’énoncé est une application directe du théorème de SardSmale (ici le théorème 8.5.6), à condition que nous prouvions que π est une
application de Fredholm. Montrons donc que pour tout (λ, u, H + h 0 ) ∈
Z(x, y, J), l’opérateur
(dπ) (λ,u,H+h0) : T (λ,u,H+h0) Z(x, y, J) −→ T h0 C
∞
ε ,
qui est de la forme (a, Y, h) → h, est un opérateur de Fredholm. Notons V
le champ de vecteurs
V =
∂J
λ
∂λ
(u)
∂u
∂t
+ grad u
∂(H
λ + h
λ
0 )
∂λ
∈ L
p (u
T W ).