11.3. DÉMONSTRATION DE LA PROPOSITION 11.2.8
377
Théorème 11.3.2. Il existe un voisinage de 0 dans C
∞
ε et une intersection
dénombrable d’ouverts denses H reg dans ce voisinage telle que, si h ∈ H reg ,
alors, pour Γ(h) = (H + h, J), l’espace M
Γ(h) (x, y) est, pour tout x ∈
Crit A H a et tout y ∈ Crit A H b une variété à bord, de dimension μ(x) −
μ(y) + 1, dont le bord est
∂M
Γ(h) (x, y) =
{0} × M
Γ0 (x, y)
∪
{1} × M
Γ1 (x, y)
.
Dans cet énoncé, nous utilisons la topologie sur M
Γ(h) (x, y) induite par
celle de R × C
∞
loc (R × S
1 ; W ).
Commençons par regarder ce qui se passe près du bord. Soient x ∈
Crit A H a et y ∈ Crit A H b . Pour un h ∈ C
∞
ε arbitraire et fixé, analysons
la structure de M
Γ(h) (x, y) près de ses points (λ, u), avec λ ∈ {0, 1}.
Soit δ > 0, assez petit pour que
Supp(h) ⊂ [δ, 1 − δ] × R × S
1
× W
et pour que l’isotopie Γ = (H, J) soit stationnaire pour λ ≤ δ et pour
λ ≥ 1 − δ. On a donc Γ(h) = Γ 0 pour λ ≤ δ et Γ(h) = Γ 1 pour λ ≥ 1 − δ. Il
est alors clair que
M
Γ(h) (x, y) ∩ {λ < δ} = [0, δ[ × M
Γ0 (x, y)
M
Γ(h) (x, y) ∩ {λ > 1 − δ} = ]1 − δ, 1] × M
Γ1 (x, y).
et
Cela montre qu’au voisinage des points de
{0} × M
Γ0 (x, y) ∪ {1} × M
Γ1 (x, y),
l’espace M
Γ(h) a une structure de variété à bord, comme dans l’énoncé du
théorème.
Nous suivons ensuite le même plan qu’au chapitre 8 (voir à nouveau le
schéma à la fin du § 8.1). Notre point de départ est un analogue du théorème 8.1.5, c’est une version du théorème 11.1.7, valide pour les homotopies Γ λ , pour λ fixé dans [0, 1] :
Théorème 11.3.3. Pour tout λ ∈ ]0, 1[ fixé, pour tous points critiques x ∈
Crit A H a , y ∈ Crit A H b et pour tout u ∈ M
Γ λ (x, y), l’opérateur (dF
Γ λ ) u est
un opérateur de Fredholm d’indice μ(x) − μ(y).
À l’aide de ce théorème, on établit un énoncé analogue à 8.1.3. À cet
effet, on fixe J = (J
λ ) λ∈[0,1] et on considère, comme au § 8.5, le fibré
E −→ P
1,p (x, y) × C
∞
ε
où
E =
(u, h, Y ) | (u, h) ∈ P
1,p (x, y) × C
∞
ε , Y ∈ L
p (u
T W )
.
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Théorème 11.3.2. Il existe un voisinage de 0 dans C
∞
ε et une intersection
dénombrable d’ouverts denses H reg dans ce voisinage telle que, si h ∈ H reg ,
alors, pour Γ(h) = (H + h, J), l’espace M
Γ(h) (x, y) est, pour tout x ∈
Crit A H a et tout y ∈ Crit A H b une variété à bord, de dimension μ(x) −
μ(y) + 1, dont le bord est
∂M
Γ(h) (x, y) =
{0} × M
Γ0 (x, y)
∪
{1} × M
Γ1 (x, y)
.
Dans cet énoncé, nous utilisons la topologie sur M
Γ(h) (x, y) induite par
celle de R × C
∞
loc (R × S
1 ; W ).
Commençons par regarder ce qui se passe près du bord. Soient x ∈
Crit A H a et y ∈ Crit A H b . Pour un h ∈ C
∞
ε arbitraire et fixé, analysons
la structure de M
Γ(h) (x, y) près de ses points (λ, u), avec λ ∈ {0, 1}.
Soit δ > 0, assez petit pour que
Supp(h) ⊂ [δ, 1 − δ] × R × S
1
× W
et pour que l’isotopie Γ = (H, J) soit stationnaire pour λ ≤ δ et pour
λ ≥ 1 − δ. On a donc Γ(h) = Γ 0 pour λ ≤ δ et Γ(h) = Γ 1 pour λ ≥ 1 − δ. Il
est alors clair que
M
Γ(h) (x, y) ∩ {λ < δ} = [0, δ[ × M
Γ0 (x, y)
M
Γ(h) (x, y) ∩ {λ > 1 − δ} = ]1 − δ, 1] × M
Γ1 (x, y).
et
Cela montre qu’au voisinage des points de
{0} × M
Γ0 (x, y) ∪ {1} × M
Γ1 (x, y),
l’espace M
Γ(h) a une structure de variété à bord, comme dans l’énoncé du
théorème.
Nous suivons ensuite le même plan qu’au chapitre 8 (voir à nouveau le
schéma à la fin du § 8.1). Notre point de départ est un analogue du théorème 8.1.5, c’est une version du théorème 11.1.7, valide pour les homotopies Γ λ , pour λ fixé dans [0, 1] :
Théorème 11.3.3. Pour tout λ ∈ ]0, 1[ fixé, pour tous points critiques x ∈
Crit A H a , y ∈ Crit A H b et pour tout u ∈ M
Γ λ (x, y), l’opérateur (dF
Γ λ ) u est
un opérateur de Fredholm d’indice μ(x) − μ(y).
À l’aide de ce théorème, on établit un énoncé analogue à 8.1.3. À cet
effet, on fixe J = (J
λ ) λ∈[0,1] et on considère, comme au § 8.5, le fibré
E −→ P
1,p (x, y) × C
∞
ε
où
E =
(u, h, Y ) | (u, h) ∈ P
1,p (x, y) × C
∞
ε , Y ∈ L
p (u
T W )
.